Ecuación de la demanda

Escribamos la ecuación de la demanda de la forma usual

q = sqrt(100-p)

La elasticidad de la demanda es la variación porcentual de la demanda entre la variación porcentual del precio

Ed = [inc(q)/q] / [Inc(p) / p] = inc(q)·p / [Inc(p)·q]

Donde la función inc es el incremento

Y se dice que la demanda es elástica cuando Ed es mayor que 1 en valor absoluto.

Dado que la función de la demanda no es lineal hay que usar la elasticidad puntual que es cuando el incremento de p tiende a cero. Cuando esto sucede tenemos reordenando la expresión:

Ed = lím inc(p)-->0 de [inc(q)/inc(p)] ·(p/q) =

(p/q) · lím inc(p)-->0 de [inc(q)/inc(p)] =

Y este segundo factor es la definición de la derivada de de la función demanda respecto al precio.

Considerando que Ed y q son funciones de p, podemos escribir:

Ed(p) = [p/q(p)]·q'(p)

Y esto para nuestro ejemplo es:

$$E_d(p) = \frac{p}{\sqrt{100-p}}·\frac{-1}{2 \sqrt{100-p}}= \frac{-p}{2(100-p)}$$

Si 0<p<100 la elasticidad puntual es negativa porque el denominador es positivo,para que sea elastica deberá ser menor que <-1

-p / [2(100-p)] <-1

Como el denominador es positivo pasa al otro ladao sin cambiar el sentido de la desigualdad

-p < -2(100-p)

-p < -200 + 2p

-3p < -200

Si la cambiamos de signo también cambia el sentido

3p > 200

p > 200/3 = 66,66

Si p >100 la función demanda no tiene sentido sqrt(100-p) es la raíz cuadrada de algo negativo.

Luego la demanda es elastica en el intervalo de precios (66.66, 100)

b) La demanda para p=36 es

q = sqrt(100-36) = sqrt(64) = 8

Teníamos

Ed = (Variación porcentual de la demanda) / (Variación porcentual del precio)

Luego

(Variación porcentual de la demanda) = Ed · (Variación porcentual del precio)

Aproximando la función demanda por la recta tangente a la función en p = 36 tenemos

VPD = [-36/(200-2·36)] · 5 = -36·5/128 = -180/128 = 45/32 = 1,40625%

Y eso es todo.