La ecuación de un elipse es

La ecuación canónica de ese elipsoide es

$$\begin{align}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\ &\\ &\text{donde a, b y c son los semiejes del elipsoide}\\ &\\ &\text{Si llamamos }\\ &r=\frac{1}{a^2}\quad s=\frac 1{b^2}\quad t=\frac{1}{c^2}\\ &\\ &\text{podremos formar un sistema de tres ecuaciones}\\ &\\ &4r+4s+4t=1\\ &9r+s+3t=1\\ &4r+16t = 1\end{align}$$

El manejo de matrices con el editor es muy raro lo haré normal. Divido entre 4 la primera para que se pueda operar ya y hacer ceros en las dos siguientes

1 1 1 | 1/4

0 -8 -6 | -5/4

0 -4 12| 0

La segunda por -1/2 se suma a la tercera

1 1 1 | 1/4

0 -8 -6 | -5/4

0 0 15 | 5/8

t=(5/8) /15 = 1/24

-8s - 6/24 = -5/4

-8s = -5/4 + 6/24 = (-30+6)/24 = -1

s=1/8

r = 1/4 - 1/8 - 1/24 = (6-3-1)/24 = 2/24 = 1/12

Luego la ecuación e:

$$\begin{align}&\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}+\frac{z^2}{24}=1\\ &\\ &\text {o si se prefiere}\\ &\\ &2x^2+3y^2+z^2-24=0\end{align}$$

Y eso es todo.