Propiedades de los supremos de dos conjuntos.

Para conjuntos no vacíos A, B en los Reales, determínese cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos. Demuéstrense los enunciados verdaderos y búsquese un contra-ejemplo para los falsos.

a) sup (A intersección B) <= inf { sup(A), sup(B) }.

b) sup (A intersección B) = inf { sup (A), sup(B) }.

c) sup (A unión B) >= sup { sup(A), sup(B) }

d) sup (A unión B) = sup { sup(A), sup(B) }.

2 Respuestas

Respuesta

En la demostración de d) sólo demuestras que sup(AUB) es menor o igual que sup{sup(A), sup(B)}, llegando a contradicción con que sea mayor, pero para demostrar que son iguales también tienes que comprobar que no puede ser menor, ¿no?

Respuesta
2

a) Es verdadero.

Usaré la n como símbolo de intersección

AnB incluido en A luego Sup(AnB) <= sup(A)

AnB incluido en B luego Sup(AnB) <= sup(B)

Luego sup(AnB) <= min{sup(A), sup(B)} = inf{sup(A),sup(B)}=

b) Falso

A = {1, 3, 5} Sup(A) = 5

B = {2, 3, 4} Sup(B) = 4

AnC = {3} Sup(AnB) = 3

c) Verdadero

A incluido en AUB luego Sup(A) <= Sup(AUB)

B incluido en AUB luego Sup(B) <= Sup(AUB)

Luego Sup(AUB) >= max{Sup(A), Sup(B)} = sup{sup(A), sup(B)}

d) Verdadero.

Ya veíamos en C que el supremo del conjunto unión debía ser mayor o igual que el supremo de los dos supremos.

Sea x € AUB

x€A o x€B

Si x€A x<=sup(A)

si x€B x<=sup(B)

x<=sup{sup(A), sup(B)}

Luego todo x € AUB es menor o igual que sup{sup(A), sup(B)}

Si sup(AUB) > sup{sup(A), sup(B)} habría contradicción ya que sup(AUB) no no sería la menor de las cotas superiores de AUB

Y eso es todo.

Me podías explicar mejor las dos últimas conclusiones? gracias.

No sé exactamente si te refieres solo al apartado d o a los apartados c y d.

En el apartado d comenzamos partiendo del apartado c por lo que ya sabemos

sup (A unión B) >= sup { sup(A), sup(B) }

Y lo que queremos demostrar es que sobra el signo de desigualdad >

En esta parte

Sea x € AUB
x€A o x€B
Si x€A x<=sup(A)
si x€B x<=sup(B)
x<=sup{sup(A), sup(B)}

Hemos demostrado que sup{sup(A), sup(B)} es una cota superior de AUB.

Pero por definición Sup(AUB) es la menor de las cotas superiores de AUB

Si se diese la desigualdad estricta

Sup (A unión B) > sup { sup(A), sup(B) }

Sería una contradicción porque habría una cota superior menor que el supremo.

Luego no puede darse la desigualdad y lo que se da es la igualdad únicamente

sup (A unión B) = sup { sup(A), sup(B) }

Y eso es todo.

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