Propiedades de los números reales
a) Demuestra que todo conjunto no vacío de números reales, acotado inferiormente, tiene ínfimo en los reales.
b) Sean A y B dos conjuntos de números reales, no vacíos y B acotados. Demuestra que si el conjunto A está contenido en el conjunto B, entonces:
SupA es menor o igual que subB y infB es menor o igual que infA
c) Demuestra que si x es cualquier número real mayor que cero, x mayor que 0, entonces existe N en los naturales tal, que : 1/N al cubo es menor que x
d) Demuestra que la raíz cuadrada de 3 no es un numero racional.
Usando los axiomas.
1 respuesta
a) Hay un axioma de los números reales que lo distingue de los racionales, es que R es un cuerpo completo. Y eso quiere decir que todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.
Y de ahi se deduce fácilmente lo que preguntan. Si C es un conjunto no vacío acotado inferiormente por una cota k
x>=k para todo x € C
entonces
-x <= -k para todo x € C,
Tomemos el conjunto auxiliar
D = {-x | x€C}
Es un conjunto acotado superiormente por -k luego tiene un supremo
x <= Sup D para todo x € D
-x >= - Sup D para todo x € D
los elementos -x con x€D son el conjunto C
Luego (-Sup D) es una cota inferior de C
Supongamos que existe una cota inferior h mayor que (-sup D)
-sup D < h <= x para todo x€C
sup D > -h >= -x para todo x € C
Los elementos -x con x€C son el conjunto D.
Entonces -h es una cota superior para D menor que Sup D, absurdo. Luego no existe una cota inferior de C mayor que -Sup D con lo cual Inf C existe y su valor es - supD
Y eso es todo.
