Integral de Cauchy

Respuesta de
mikel1970
a
Usuario
Que tal mikel, ¿cómo estas?. Te escribo por lo siguiente: en mi actual curso de métodos matemáticos hemos estado realizando algunos ejercicios usando el primer y segundo teorema de la integral de Cauchy. Debido a esto intente hacer la demostración de los dos teoremas de Cauchy, cosa que no conseguí, por eso es que me dirijo a ti, para ver si es que me podrías auxiliar buscando entre tus curiosidades, si es que se encuentran por ahí tales demostraciones,... ... ... créeme que te lo agradeceré mucho, ya que así me sera más fácil comprender este tipo de problemas.
De ante mano te agradezco ... ... ... por cierto soy estudiante de ing. en instrumentación electrónica.
Mi correo es :
TERRIER_HCA@HOTMAIL.COM
Experto
Hola:
Lo cierto es que no sé muy bien a qué te refieres con el primero y segundo teorema de Cauchy. Yo sólo recuerdo el teorema de la integral de Cauchy, llamado también teorema de Cauchy-Goursat, y tal vez con el segundo te refieras a la fórmula integral de Cauchy. Aunque con Cauchy nunca se sabe, pues aparece en varios teoremas.

El teorema integral de Cauchy nos dice que si f(z) es una función analítica en un dominio DE simplemente conexo, entonces para todo contorno cerrado C contenido en DE, la integral cerrada sobre C de f(z) es nula, siendo f(z) una función compleja de variable compleja.

La demostración es sencilla si damos por demostrados las ecuaciones de Cauchy-Riemann para funciones analíticas, así como el teorema de Green.
Usaremos la siguiente notación:
Int -->Integral
Int[Int] -->Integral doble
df/dx --> derivada exacta
DF/DX --> derivada parcial
Lo que nos dicen ambas cosas que luegos demostraremos son

1º ecuaciones de Cauchy-rienmann

Sean

z=x+i*y
f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)

Entonces es condición necesaria y suficiente para que f(z) sea analítica que se cumpla
Du/Dx=Dv/Dy
Du/Dy=-Dv/Dx

2º TEOREMA DE GREEN

Sea D un dominio plano limitado por una frontera C, entonces siendo F un campo vectorial F=f(x,y)*i + g(x,y)*j (aquí i y j son los vectores unitarios), entonces la integral de circulación de F.ds es igual a la integral de superficie del rotF.da

siendo

F(x,y)=f(x,y)*i + g(x,y)*j
ds=dx*i + dy*j
rotF = [Dg/Dx-Df/Dy]*k
da=dx*dy*k
. ---> producto escalar


Así, el teorema es

Int[F.ds]=Int[Int[rotFxda]]

pero

F*ds=f*dx+g*dy
rotF.da=[Dg/Dx-Df/Dy]*dx*dy

luego nos queda

Int[f*dx+g*dy]=Int[Int[Dg/Dx-Df/Dy]*dx*dy]


Continúa...


Usuario
¿Qué tal mike, como te encuentras?, te agradezco por haber puesto atención a mi pregunta y para decirte que efectivamente, si, a lo que me refiero son a los dos teoremas de la integral de Cauchy, pero creo que me no he aclarado mi duda ya que me aparece que no acabaste el proceso,... gracias, nos vemos
Experto
Sea f(z) analítica en un dominio D simplemente conexo
z=x+iy
f(z)=u+iv

La integral cerrada sobre cualquier contorno cerrado C contenido en D será

Int[f(z)*dz]=0

Probemos ésto

z=x+i*y
dz=dx+i*dx

Int[f(z)*dz]=
Int[(u+i*v)*(dx+i*dy)]=
Int[u*dx+i*u*dy+i*v*dx-v*dy]=
Int[(u*dx-v*dy)+i*(v*dx+u*dy)]=
Int[u*dx-v*dy]+i*Int[v*dx+u*dy]

Aplicando el teorema de Green a ambas integrales

1º u=f;-v=g
Int[u*dx-v*dy]=
Int[u*dx+(-v)*dy]=
Int[Int[D(-v)/Dx-Du/Dy]*dx*dy=
-Int[Int[Dv/Dx+Du/Dy]

Aplicando la ecuación de Cauchy-Riemann:

Du/Dy=-Dv/Dx

Luego la integral es nula.




2º u=f;v=g
Int[v*dx+u*dy]=
Int[Int[Du/Dx-Dv/Dy]*dx*dy

Aplicando la ecuación de Cauchy-Riemann:

Du/Dx=Dv/Dy

Luego la integral es nula.

De esta forma

Int[f(z)]=0

Continúa...


Experto
Sea

f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)

z=x+i*y

Diferenciando

dz=dx+i*y

Despejando x e y

x=z-i*y
y=(z-x)/i

Luego

Dx/Dz=1
Dy/Dz=1/i=-i

De esta forma, derivando f respecto z

f=f(x,y)
df/dz=Df/Dx*Dx/dz+Df/Dy*Dy/Dx
df/dz=Df/dx-i*Df/Dy

De igual forma, como
f=u+iv
Df/Dx=Du/Dx+i*Dv/Dx
Df/Dy=Du/Dy+i*Dv/Dy

luego

df/dz=[Du/Dx+i*Dv/Dx]-i*[Du/Dy+i*Dv/Dy]
df/dz=[Du/Dx+i*Dv/Dx]+[Dv/Dy-i*Du/Dy]

El primer sumando sólo depende de por y el segundo de y, es decir son Df/Dx y Df/Dy

Si nos movemos a lo largo del eje X, [Df/Dy=0]

df/dz=Du/Dx+i*Dv/Dx

De igual forma, moviéndonos a lo largo del eje Y, [Df/Dx=0]

df/dz=Dv/Dy-i*Du/Dy

Pero si f es analítica y diferenciable, ésta derivada es independiente de su orientación luego

Du/Dx+i*Dv/Dx=Dv/Dy-i*Du/Dy


Luego

Du/Dx=Dv/Dy
Dv/Dx=-Du/Dy


Bueno, espero que te haya servido.
La demostración del teorema de Green suele venir en casi todos los libros.

Repasa un poco las operaciones, pues es posible que haya alguna errata, debido a la dificultad de introducir notación matemática.
Usuario
Te agradezco mucho que me hallas dedicado un espacio de tu tiempo,... nos vemos y nuevamente gracias...