¿Cómo resolver la siguiente integral?

Es una integral racional, hay que calcular las raíces del denominador pues según el tipo se resuelve de formas distintas, me parece que son complejas. El discriminante:

b^2 - 4ac = 100 - 4·30 = -20

Es negativo, luego las raíces son complejas.

Cuando solo hay un par de raíces complejas no se descomponer la integral en suma de otras más simples.

La parte

Ax / (x^2+10x + 30) se integraría como un logaritmo neperiano

Y la parte

B / (x^2 + 10x + 30) se integra como un arcotangente.

Como el numerador no tiene término en x solo tenemos que hacer la parte del arcotangente, Y para hacer esta tenemos que llegar a poner la integral en la forma

k / {1+[(x+r)/s]^2}

El proceso se llama completar cuadrados, si no lo conoces pídeme explicaciones

x^2+10x+ 30 = (x+5)^2 - 25 + 30 = (x+5)^2 +5 =

Y ahora multiplicamos y dividimos por 5

$$5 \frac{(x+5)^2+5}{5}=5 \left ( \left ( \frac {x+5}{\sqrt 5} \right )^2+1 \right )$$

Con todo esto podemos escribir la integral de esta forma:

$$\frac{1}{5} \int \frac{dx}{\left( \frac {x+5}{\sqrt 5} \right )^2+1} = \frac{\sqrt 5}{5}arctg\left( \frac {x+5}{\sqrt 5} \right )+c$$

Y eso es todo, habría quien como yo simplificaría la raíz de 5 con el 5, pero como toda mi vida me han obligado a racionalizar los denominadores, lo dejo así.

Si no has entendido algo o corrí mucho me lo dices.