Derivadas direccionales

Podemos expresar la derivada direccional de una función en cualquier punto según una dirección dada por un vector unitario u como el producto escalar del vector gradiente en ese punto por el vector unitario
Du=gradf.u
En nuestro caso f(x,y)=5*x^2*y^3
calculamos el gradiente calculando las derivadas parciales
Df/Dx=10*x*y^3
Df/Dy=15*x^2*y^2
luego
gradf=10*x*y^3*i+15*x^2*y^2*j
y en el punto P(1,1)
gradf=10*i+15*j
Ahora sólo tenemos que calcular los vectores unitarios en cada caso
a)vector que une P(1,1) con Q(3,-2)
PQ=(3-1,-2-1)=(2,-3)
Para hacerlo unitario lo dividimos entre su módulo
|PQ|=raiz(2^2+(-3)^2)=raiz(4+9)=raiz(3)
con lo que el vector unitario es
u=PQ/|PQ|=(2,-3)/raiz(13)=(2/raiz(13),-3/raiz(13))
que racionalizando
u=(2*raiz(13)/13,-3*raiz(13)/13)
u=2*raiz(13)/13*i-3*raiz(13)/13*j)
y multiplicando escalarmente por el gradiente
Du=10*2*raiz(13)/13-15*3*raiz(13)/13)
Du=20*raiz(13)/13-45*raiz(13)/13=-25*raiz(13)/13
Respecto a las partes b y c, sólo hemos de encontrar vectores unitarios normales y tangentes al círculo en el punto P.
Esto se puede hacer de muchas maneras (derivando para encontrar rectas tangentes), aunque en este caso hay una forma muy sencilla.
Al estar el círculo centrado en el origen, el vector OP=(1,1) es perpendicular o normal al círculo en dicho punto. Por otra parte el vector (1,-1), es perpendicular a (1,1) (su producto escalar es cero), con lo que será tangente al círculo
b)v=(1,-1)-->vector tangente al círculo en P
Su módulo es raiz(1^2+(-1)^2)=raiz2
o sea el vector unitario es
u=(1/raiz2,-1/raiz2)=(raiz2/2,-raiz2/2)
u=raiz2/2*i-raiz2/2*j
y haciendo el producto escalar
Du=10*raiz2/2-15*raiz2/2=-5*raiz2/2
c)v=(1,1)
u=(raiz2/2,raiz2/2)
u=raiz2/2*i-raiz2/2*j
y haciendo el producto escalar
Du=10*raiz2/2+15*raiz2/2=25*raiz2/2
Sólo reseñar que en el apartado b y c podíamos haber cogido vectores de sentido contrario y la derivada cambiaría de signo.