Volumen de cilindro invertido

Quisiera saber si existe una fórmula matemática para encontrar el volumen que ocupa 'x' liquido en un cilindro invertido, en un cilindro en posición vertical es sencillo ya que aquí solo varia la altura ( pi*r^2*h ), pero en un cilindro invertido la altura no cambia, pero al contrario el radio varia.
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Supongo que te refieres a tumbar el cilindro, de forma que las bases queden de forma perpendicular al suelo, y llenarlo por una abertura por arriba, a modo de cisterna cilíndrica, de forma que por sea la altura que va alcanzando el líquido desde el suelo.
Bien en tal caso, veamos cómo calculamos el volumen.
El volumen de cualquier figura recta es:
V = Sbase * altura.
Debido a ello, si colocas el cilindro en posición vertical, y lo llenas hasta por de altura:
V = Pi*R^2*h
Supongamos que ahora el cilindro está en posición horizontal y lo llenamos hasta una altura por menor que R. En este caso la figura no sube de forma recta desde el suelo, con lo que la fórmula V = Sbase * altura no es válida, pero hagamos un truco:
Si somos capaces de bajar la temperatura, de forma que helamos el agua de la cisterna, y lo colocamos en posición vertical, ahora sí tenemos una figura recta, de forma que V = Sbase * altura, siendo:
Sbase = Ssegmentocircular = Sseg
altura = H = altura del cilindro
Calculemos ahora el área del segmento circular.
Para ello, y debido a la dificultad de hacer los dibujos, nos vamos a basar en uno que puedes encontrar en:
http://www.tecnicsuport.com/index.asp?url=http://www.tecnicsuport.com/mates/geometria/planes/figures1.htm
Llamaremos por a la altura del segmento ( en nuestro caso por es la altura del líquido, con el dibujo al revés).
Desarrollemos primero el caso en que x<R, o sea alfa<180º=pi radianes.
En tal caso
Ssegmento = Ssector - Striágulo
Llamemos h a la altura del triángulo, con lo que h = R - x
Si dividimos el triángulo por la mitad, nos quedará dos triángulos rectángulos,
1/2 base
*******
* *
* *
h= R-x * * R
* *
**
*
Además el ángulo inferior es alfa/2
Por Pitágoras
R^2 = h^2 + (1/2*base)^2
R^2 = (R-x)^2 + 1/4 * base^22
R^2 = R^2 - 2*R*x + x^2 + 1/4 * base^2
1/4 * base^2 = x^2 - 2*R*x
base^2 = 4*(x^2 - 2*R*X)
base = sqrt(4*(x^2 - 2*R*X))
base= 2*sqrt(4*(x^2 - 2*R*X)
Así pues
Striángulo = 1/2 * base * altura = 1/2*2*sqrt(4*(x^2 - 2*R*X)*(R-x)
Striángulo = (R-x)*sqrt(x^2-2*R*x)
Para calcular el área del sector
Ssector = R^2 * alfa
siendo alfa el grado medidos en radianes
Si calculamos el coseno de alfa/2 en el triángulo anterior:
cos(alfa/2) = (R-x)/R
alfa/2 = arccos [(R-x)/R]
alfa = 2*arccos [(R-x)/R]
Así pues
Ssector =2*R^2*arccos [(R-x)/R]
y finalmente
Ssegmento = 2*R^2*arccos[(R-x)/R] - (R-x)*sqrt(x^2-2*R*x)
Si H es la altura del cilindro:
V = [2*R^2*arccos[(R-x)/R] - (R-x)*sqrt(x^2-2*R*x)] * H
Para calcular la superficie de un segmento donde x>R, sólo has de tener en cuenta que
Ssegmentogrande = Scírculo - Ssegmentopequeño
Siendo segmentogrande el que queremos calcular, y segmentopequeño el resto hasta completar el círculo, con una altura 2*R - x < R
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