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Supongo que te refieres a tumbar el cilindro, de forma que las bases queden de forma perpendicular al suelo, y llenarlo por una abertura por arriba, a modo de cisterna cilíndrica, de forma que x sea la altura que va alcanzando el líquido desde el suelo.
Bien en tal caso, veamos cómo calculamos el volúmen.
El volúmen de cualquier figura recta es:
V = Sbase * altura.
Debido a ello, si colocas el cilindro en posición vertical, y lo llenas hasta x de altura:
V = Pi*R^2*h
Supongamos que ahora el cilindro está en posición horizontal y lo llenamos hasta una altura x menor que R. En este caso la figura no sube de forma recta desde el suelo, con lo que la fórmula V = Sbase * altura no es válida, pero hagamos un truco:
Si somos capaces de bajar la temperatura, de forma que helamos el agua de la cisterna, y lo colocamos en posición vertical, ahora sí tenemos una figura recta, de forma que V = Sbase * altura, siendo:
Sbase = Ssegmentocircular = Sseg
altura = H = altura del cilindro
Calculemos ahora el área del segmento circular.
Para ello, y debido a la dificultad de hacer los dibujos, nos vamos a basar en uno que puedes encontrar en:
http://www.tecnicsuport.com/index.asp?url=http://www.tecnicsuport.com/mates/geometria/planes/figures1.htm
Llamaremos x a la altura del segmento ( en nuestro caso x es la altura del líquido, con el dibujo al revés).
Desarrollemos primero el caso en que x<R, o sea alfa<180º=pi radianes.
En tal caso
Ssegmento = Ssector - Striágulo
Llamemos h a la altura del triángulo, con lo que h = R - x
Si dividimos el triángulo por la mitad, nos quedará dos triángulos rectángulos,
1/2 base
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* *
* *
h= R-x * * R
* *
**
*
Además el ángulo inferior es alfa/2
Por Pitágoras
R^2 = h^2 + (1/2*base)^2
R^2 = (R-x)^2 + 1/4 * base^22
R^2 = R^2 - 2*R*x + x^2 + 1/4 * base^2
1/4 * base^2 = x^2 - 2*R*x
base^2 = 4*(x^2 - 2*R*X)
base = sqrt(4*(x^2 - 2*R*X))
base= 2*sqrt(4*(x^2 - 2*R*X)
Así pues
Striángulo = 1/2 * base * altura = 1/2*2*sqrt(4*(x^2 - 2*R*X)*(R-x)
Striángulo = (R-x)*sqrt(x^2-2*R*x)
Para calcular el área del sector
Ssector = R^2 * alfa
siendo alfa el grado medidos en radianes
Si calculamos el coseno de alfa/2 en el triángulo anterior:
cos(alfa/2) = (R-x)/R
alfa/2 = arccos [(R-x)/R]
alfa = 2*arccos [(R-x)/R]
Así pues
Ssector =2*R^2*arccos [(R-x)/R]
y finalmente
Ssegmento = 2*R^2*arccos[(R-x)/R] - (R-x)*sqrt(x^2-2*R*x)
Si H es la altura del cilindro:
V = [2*R^2*arccos[(R-x)/R] - (R-x)*sqrt(x^2-2*R*x)] * H
Para calcular la superficie de un segmento donde x>R, sólo has de tener en cuenta que
Ssegmentogrande = Scírculo - Ssegmentopequeño
siendo segmentogrande el que queremos calcular, y segmentopequeño el resto hasta completar el círculo, con una altura 2*R - x < R
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