Polinomios irreducibles en R
Hola tengo este problema de tarea:
¿Cuáles son los polinomios irreducibles en R[x]?
Se que son los de grado 1 y grado 2 .. ¿pero cómo lo podría demostrar?
Los que grado 2 son irreducibles si sus raíces son complejas.
¿Cuáles son los polinomios irreducibles en R[x]?
Se que son los de grado 1 y grado 2 .. ¿pero cómo lo podría demostrar?
Los que grado 2 son irreducibles si sus raíces son complejas.
1 respuesta
Respuesta de canalrev
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Como comentario, los polinomios de grado 0 (las constantes) también se pueden considerar como irreducibles.
La solución está en el teorema fundamental del álgebra.
Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces1 como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades.
Para los polinomios de grados impares tienen al menos una raíz real, por lo que solo necesitamos verlo para los polinomios de grado par.
En este caso Las raíces complejas de un polinomio real van siempre agrupadas en pares conjugados
dada una raíz z = a + bi en C vemos que
(x ? z)(x ? z') = x2 ? (z + z')x + zz' = x2 ? 2 Re z · x + |z|^2 = x^2 ? 2ax + a^2 + b^2 pertenece a R[x]
Por lo que todo polinomio real de grado par factoriza en polinomios reales de grado 2.
Si lo prefieres también se puede demotrar utilizando la aproximación de Laplace al teorema fundamental del álgebra.
Te dejo un enlace a un documento donde esta demostrado. En el punto · en la página 8.
http://personal.telefonica.terra.es/web/mir/ferran/TFA.pdf
La solución está en el teorema fundamental del álgebra.
Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces1 como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades.
Para los polinomios de grados impares tienen al menos una raíz real, por lo que solo necesitamos verlo para los polinomios de grado par.
En este caso Las raíces complejas de un polinomio real van siempre agrupadas en pares conjugados
dada una raíz z = a + bi en C vemos que
(x ? z)(x ? z') = x2 ? (z + z')x + zz' = x2 ? 2 Re z · x + |z|^2 = x^2 ? 2ax + a^2 + b^2 pertenece a R[x]
Por lo que todo polinomio real de grado par factoriza en polinomios reales de grado 2.
Si lo prefieres también se puede demotrar utilizando la aproximación de Laplace al teorema fundamental del álgebra.
Te dejo un enlace a un documento donde esta demostrado. En el punto · en la página 8.
http://personal.telefonica.terra.es/web/mir/ferran/TFA.pdf
