Teoría de ecuaciones: Regla de Descartes

Respuesta de
a
Usuario

Usar la regla de los signos de Descartes para
determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación dada.

 

[math]x^8-x^6-14x^3+24x^2=0[/math]

 

Gracias!

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Experto

¡Hola MarioMtzGtz!

 

Ya no me acordaba de esta regla.  Dice que el número de raíces positivas  de un polinomio p(x) es el número de cambios de signo de los coeficientes o ese numero de cambios menos una cantidad par.  Y para las raíces negativas es lo mismo pero aplicado al polinomio p(-x).

En nuestro caso tenemos estos coeficientes

1, -1, -14, 24

Hay dos cambios de signo entre 1 y -1 y entre -14 y 24.  E

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Experto

Se bloqueo el ordenador y mando sola la respuesta.

Eso quiere decir que hay 2 raíces positivas o ninguna

El polinomio en (-x) es

(-x)^8 - (-x)^6 - 14(-x)^3 + 24(-x)^2 =

x^8 - x^6 + 14x^3 + 24x^2

Los coeficientes son

1, -1, 14, 24

Se producen 2 cambios de signo, luego hay 2 raíces negativas o ninguna.

 

Pues poco más se puede extraer de la regla de los signos, aparte sabemos que hay dos raíces que son el cero

Pueden darse estos casos

1) Dos positivas, dos negativas, dos cero y dos complejas

2) Dos positivas, cero negativas, dos cero y cuatro complejas

3) Cero positivas, dos negativas, dos cero y cuatro complejas.

4) Cero positivas, cero negativas, dos cero y seis complejas

 

Yo no se si habéis estudiado algo más, pero solo con la regla de Descartes no se puede precisar más.

 

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo.

Usuario

Muchas gracias por tu respuesta.

 

Solo tengo una pequeña duda, (quiero aprovechar este momento xD)

 

Cuando en un polinomio de grado IMPAR, tiene:

 

F(x)=0 -> Cero variaciones positivas

F(-x)=0 -> Cero variaciones negativas

  

Entonces ¿Cuantas raíces complejas habrían? ¿n? ¿No importa si n es impar? Por que como las raíces complejas son conjugadas... no sé como sería mi respuesta. Espero tu ayuda!

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Experto

Es que esa situación que planteas no debería poder darse, porque un polinomio de grado impar con coeficientes reales siempre tiene al menos una raíz real ya que es una función continua que pasa del negativo al positivo y en algún momento vale cero.  Llegaríamos a un absurdo, por tanto es imposible que un polinomio de grado impar con coeficientes reales cumpla estas tres condiciones simultáneamente:

i) Tenga cero variaciones de signo en x

ii) Tenga cero variaciones de signo en (-x)

iii) Tenga distinto de cero el coeficiente independiente

 

Si se cumplen las dos primeras obligatoriamente la tercera será falsa, entonces pondremos tantas raíces cero como se puedan poner y tras dividir por x^(numero de raíces cero) quedará un polinomio de grado par que tendrá ese número de raíces complejas.  Y digo bien claro que quedará un polinomio de grado par, si no sería un absurdo.

 

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Te recuerdo que me gustaría mucho si pudiera obtener la teoría esta de ecuaciones que estáis dando, me gusta el tema y me serviría mucho.

Un saludo.

Usuario

Gracias por tu respuesta...

 

Este tema lo estoy viendo en la materia "Álgebra 1" estoy en la carrera "Licenciado en Matemáticas" y es de Primer Semestre apenas je je.

 

El libro que estamos utilizando es;

Álgebra (Lehmann), Editorial: Limusa.

Cuenta con 464 páginas y vienen 17 lecciones  muy buenos y el aprendiz:

01.Conceptos fundamentales
02. Operaciones algebraicas
03.Concepto de función
04. La función lineal
05. La función cuadrática
06. Desiguadades e inecuaciones
07. Inducción matemática, Teorema del binomio
08. Números complejos
09. Variación de funciones
10. Progresiones
11. Teoría de las ecuaciones
12. Fracciones parciales
13. Permutaciones y combinaciones
14. Probabilidad
15. Determinantes
16. Logaritmos
17.Interés y anualidades
Apéndices

 

Esta pregunta se trata acerca del 11. "Teoría de Ecuaciones" que tiene como temas:

- Introducción.

- El problema general

- Teorema del residuo y del factor

- División sintética

- Gráfica de un polinomio

- Número de raíces

- Naturaleza de raíces

- Regla de signos de Descartes

- Raíces racionales

- Raíces irracionales

- Transformación de ecuaciones

- Método de Horner

- Relaciones entre raíces y los coeficientes.

 

E estado intentando buscar el libro en Internet, pero no encontré un libro que se vea bien... solo encontré este link http://www.mediafire.com/?lpr8djz36bl46ci , Ese es el libro, pero no se ve tan bien que digamos je je.

 

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Experto

Muchas gracias por el link.  Suele haber una única copia de cada libro aunque muchas páginas lleven a ella. Aunque lo encontraras en otra seguramente sería el mismo fichero PDF.  Muchas veces tiene poca calidad y más cuando han escaneado de dos paginas en dos.  También me he entretenido en buscar pero no he conseguido siquiera un primer lugar donde descargarlo.

 

Es un libro de Álgebra pero no de la que estudié yo.  La que me enseñaron a mí en primero era álgebra lineal y punto.  Espacios vectoriales, ecuaciones lineales, matrices, determinantes, valores propios, cuádricas y no recuerdo que más.

 

Este libro incluye cosas que se considerarían de cursos anteriores o de otras especialidades de la matemática. Y lo que decía, sin conocer la teoría que se esta estudiando es imposible algunas veces resolver los problemas que me mandan.

 

Un saludo.

Usuario

Si, aunque este libro es muy básico, solo estamos viendo la 2da mitad del libro... se supone que la primera mitad de ese libro ya es algo que debimos hacer sabido.

 

Gracias!