Centroide de un paraboloide

La función x = py no es la de una parábola.

No obstante si dices que que es una parábola rotando alrededor del eje y se supone que es:

x^2 = py

Entonces la altura h estará en el eje Y

El centroide es la intersección de todos los planos que dejan igual volumen de la figura a un lado y otro.

Por ser una figura de revolución sobre el eje y es simétrica respecto de los planos x=0, z=0, luego la única coordenada no nula será la del eje Y. Vamos a calcular un plano de la forma y=k tal que a ambos lados haya el mismo volumen

Calculemos el volumen entre dos puntos genéricos del paraboloide.

Por rotar respecto del eje y la formula del volumen del sólido de revolución es:

$$\begin{align}&V=\pi\int_{y_1}^{y_2}[f(y)]^2dx\\ &\\ &\text {la función de y es}\\ &\\ &x^2=py \implies \\ &x =\sqrt{py}\\ &\\ &V= \pi\int_{y_1}^{y_2}(\sqrt{py})^2dy=\\ &\\ &\pi\int_{y_1}^{y_2} py\; dy= \pi p\left.\frac {y^2}2  \right|_{y_1}^{y_2}=\\ &\\ &\frac{\pi p}{2}(y_2^2-y_1^2)\\ &\\ &\text{ aplicado a los intervalos [0,k] y [k,h] será}\\ &\\ &\frac{\pi p}{2}(k^2-0^2)=\frac{\pi p}{2}(h^2-k^2)\\ &\\ &k^2 = h^2-k^2\\ &\\ &2k^2= h^2\\ &\\ &k^2=\frac {h^2}{2}\\ &\\ &k = \frac h{\sqrt 2}= \frac{h \sqrt 2}{2}\\ &\\ &\text{luego el centroide es}\\ &\\ &C=\left(0,\; \frac{h \sqrt 2}{2}, \;0  \right)\end{align}$$

Y eso es todo.