Campo magnético
Sea una distribución de corriente en volumen J=J0ux sobre una chapa infinita de espesor 2ª que se apoya en el plano XY:
1)Utilizando el teorema de ampere determina el campo magnético en puntos interiores y exteriores a la distribución. Representa gráficamente el modulo del campo magnético frente a la coordenada.
2)Repite el apartado anterior utilizando el campo que crea una distribución superficial de corriente en un plano infinito y el principio de superposición.
3)Obtener el potencial vector A para puntos interiores y exteriores a la distribución.
1)Utilizando el teorema de ampere determina el campo magnético en puntos interiores y exteriores a la distribución. Representa gráficamente el modulo del campo magnético frente a la coordenada.
2)Repite el apartado anterior utilizando el campo que crea una distribución superficial de corriente en un plano infinito y el principio de superposición.
3)Obtener el potencial vector A para puntos interiores y exteriores a la distribución.
1 Respuesta
Respuesta de Gabriel Martín
1
Espero ayudarte con esta respuesta al problema que planteas. Debido a las limitaciones en los tipos de letra y símbolos que se pueden utilizar en los mensajes de respuesta tendrás que interpretar las expresiones matemáticas en la forma correcta a partir de las que yo te doy aquí. Para distinguir los vectores añadiré un asterisco* a su derecha, para el producto utilizaré un simple punto . para la integral utilizaré la letra ES, para la letra griega que representa la permeabilidad magnética utilizaré "mu", para elevar al cuadrado usaré ^2 ... De igual forma tendrás que imaginarte los dibujos a partir de la descripción escrita.
1) La ley de Ampere nos dice que la integral del campo magnético (o inducción magnética) B* a lo largo de un camino cerrado es igual a la permeabilidad magnética mu por la intensidad de corriente I que corta el área encerrada por dicho camino:
S(B*.dl*) = mu.I
Apliquemos ahora este teorema, análogo al teorema de Gauss para el campo eléctrico, al caso planteado en el problema. Se trata de una placa de espesor 2.a con su plano medio coincidente con el plano XY (siendo por tanto la dirección según el eje Z normal al plano) por el que circula una densidad de corriente estacionaria (constante en el tiempo y en la dirección) J* = Jo. Ux* según el eje POR hacia por crecientes.
Escogemos un recorrido cerrado apropiado que nos facilite el cálculo: un camino rectangular centrado en una sección de la placa, normal al eje POR, de vértices ABCD con los lados AB y CD (de longitud 2.z) normales a la placa y los lados BC y DA (de longitud L) paralelos a ella. Si z < a entonces el camino es interior a la placa.
Visto desde un punto del eje POR más alejado del origen que la placa, el campo magnético en el recorrido siempre apuntará en cada lado, en sentido anti-horario (esto es así porque se cumplirá la regla del sacacorchos para una distribución de corriente que apunta hacia nosotros), esto es, según la dirección negativa de y para z > 0. Sabemos que el campo magnético B en los lados AB y CD debe ser nulo porque la placa es infinita y si tomamos un camino rectangular idéntico y adyacente a AB por la izquierda, el vector de campo magnético correspondiente tendrá igual módulo pero sentido contrario y por tanto se contrarrestarán. Lo mismo pasa con CD si tomamos un rectángulo adyacente por la derecha. Nos quedan los lados BC y DA: en ellos el campo debe ser constante y su dirección coincidente con el propio recorrido (horizontal) porque cualquier componente no horizontal sería automáticamente contrarrestada por la simetría de la placa infinita. La integral cerrada S(B*. Dl*) se reduce al producto -2.B.L (el signo menos indica el sentido negativo de B* para z > 0) contabilizando sólo los dos tramos no nulos B.L de la integral correspondientes a los lados BC y DA.
Ahora aplicamos Ampere: -2.B.L = mu.I
Sabemos que la intensidad de corriente I se obtiene de integrar la densidad de corriente J* en el área encerrada por el camino escogido:
I = S(J*.dA*)
El diferencial de área es dA* (vector normal a la superficie). Como J* y dA* son paralelos (ambos según el eje X) entonces se puede escribir I = S(J.dA) y como además la distribución de corriente es estacionaria: I = Jo.A donde A es el área total limitada por el camino rectangular escogido A = L.2.z. Resulta:
-2.B.L = mu.Jo.L.2.z , esto es:
B = -mu.Jo.z (-a < z < a)
Esto para puntos interiores.
Para un punto en la superficie de la placa (z = +-a) tenemos B = -+mu.Jo.a.
Para puntos exteriores de la placa tomaríamos un camino rectangular semejante al anterior pero que se extiende fuera de la placa por ambos lados. La única diferencia en el cálculo es que ahora, independientemente de la distancia a que se encuentren los lados BC y DA del plano medio de la placa, la distribución de corriente que contribuye al campo magnético es siempre la misma, la contenida dentro de la placa, puesto que fuera de la placa es nula. Resulta:
B = -mu.Jo.a (z > a)
B = mu.Jo.a (z < a)
Si representamos gráficamente el módulo del campo magnético B en ordenadas frente a z en abscisas obtenemos un tramo recto proporcional a z entre los puntos (z = -a ; B = +mu.Jo.a) y (z = +a ; B = -mu.Jo.a) que pasa por tanto por el origen y dos rectas horizontales; por encima del eje de abscisas, de ordenada constante B = +mu.Jo.a, para z < -a y por debajo del eje de abscisas, de ordenada constante B = -mu.Jo.a, para z > +a.
2) Podemos aplicar el principio de superposición, si consideramos que la placa de espesor 2.a es una suma infinita de planos (sin espesor) paralelos al plano XY entre las coordenadas z = -a y z = +a. Por lo tanto para obtener el campo magnético total podemos obtener el campo magnético debido a un solo plano e integrar el resultado entre z = -a y z = +a.
Para obtener el campo creado por un plano infinito en un punto determinado, a distancia normal z del plano, sobre el eje POR, debemos integrar las contribuciones de los hilos diferenciales de corriente (que son paralelos al eje X) entre y = -infinito e y = +infinito. Ahora debes imaginarte el dibujo visto desde el mismo punto del apartado anterior con un hilo diferencial de corriente apuntando hacia el observador (visto como un punto), a una distancia y del eje X; el segmento que une el hilo con el punto donde vamos a calcular el campo magnético mide una distancia de = z /cos(alpha) donde alpha es el ángulo que forma con la vertical.
El campo magnético creado por el hilo de corriente es un vector de módulo:
dB = -mu.dI / (2.pi.d) = -mu.dI.cos(alpha) / (2.pi.z)
Normal a la dirección del hilo y al segmento, en el plano normal, que lo une con el punto de cálculo, y sentido según la regla del sacacorchos, así que formará un ángulo alpha con la horizontal. Ahora bien, sólo la componente horizontal contribuirá a la suma total, porque, dado que el plano es infinito, la componente vertical será compensada siempre por la componente vertical debida a otro hilo de corriente situado simétricamente respecto al eje X. Por tanto sólo debemos considerar:
dB = -mu.dI.cos(alpha) / (2.pi.d) = -mu.dI.cos^2(alpha) / (2.pi.z)
En función de la densidad de corriente será dI = Jo.dA donde dA = dy.dz es el diferencial de área atravesado por la corriente del hilo diferencial, siendo dy = z.d(alpha)/cos^2(alpha) pues resulta de diferenciar y = z.tg(alpha). Resulta:
dB = -mu.Jo.dz.cos^2(alpha).z.d(alpha)/[cos^2(alpha) .2.pi.z]
que simplificando queda:
dB = -mu.Jo.d(alpha).dz / (2.pi)
Ahora hay que integrar entre alpha = -pi/2 y +pi/2 para considerar todos los hilos de corriente del plano infinito y después entre z =-a y +a para considerar todos los planos contenidos en la placa de espesor 2.a. Esto es, tenemos una integral doble:
B = -[mu.Jo / (2.pi)].S(dz).S(d(alpha)) con los límites de integración indicados.
El valor de la primera integral es 2.z y el de la segunda es pi, así que:
B = -mu.Jo.z si el punto es interior a la placa.
B = -mu.Jo.a (z > a)
B = mu.Jo.a (z < a)
si el punto es exterior (por las mismas consideraciones del apartado anterior).
Obtenemos, como se ve, el mismo resultado que antes.
3) El potencial vector A* es un vector tal que el vector campo magnético B* se obtiene como su rotacional B* = rot A*.
La expresión del rotacional es el determinante de la matriz 3X3 cuya primera fila está compuesta de los tres vectores unitarios (ux*, uy*, uz*), la segunda por los operadores derivada parcial respecto a x, respecto a y, respecto a z, y la tercera por las componentes de A*, (Ax, Ay, Az). Como B* sólo tiene componente según y entonces sólo nos quedaremos con la componente según y, del determinante anterior:
B* = [derivada parcial de Ax con respecto a z - derivada parcial de Az con respecto a y].uy*
Pero la derivada parcial con respecto a x de Az debe ser nula por simetría debido a que la placa es infinita. Así que:
B* = [derivada parcial de Ax con respecto a z].uy*
La derivada parcial se convierte en total porque Ax sólo va a ser función de z (no es función de x ni de y por las mismas razones de simetría) luego el módulo del campo magnético es:
B = -mu.Jo.z = derivada de Ax con respecto a z.
Si integramos y despreciamos la constante de integración, resulta que:
Ax = -mu.Jo.z^2 / 2
Las componentes Ay, Az se pueden considerar nulas para simplificar puesto que considerando sólo componente según x tenemos una solución válida para que su rotacional sea el campo B* calculado. Así que podemos tomar como potencial vector:
A* = -mu.Jo.z^2 / 2 .ux*
Esto para puntos interiores.
Para puntos exteriores B = -+mu.Jo.a con lo que al integrar en z resulta:
A* = -mu.Jo.a.z .ux*
1) La ley de Ampere nos dice que la integral del campo magnético (o inducción magnética) B* a lo largo de un camino cerrado es igual a la permeabilidad magnética mu por la intensidad de corriente I que corta el área encerrada por dicho camino:
S(B*.dl*) = mu.I
Apliquemos ahora este teorema, análogo al teorema de Gauss para el campo eléctrico, al caso planteado en el problema. Se trata de una placa de espesor 2.a con su plano medio coincidente con el plano XY (siendo por tanto la dirección según el eje Z normal al plano) por el que circula una densidad de corriente estacionaria (constante en el tiempo y en la dirección) J* = Jo. Ux* según el eje POR hacia por crecientes.
Escogemos un recorrido cerrado apropiado que nos facilite el cálculo: un camino rectangular centrado en una sección de la placa, normal al eje POR, de vértices ABCD con los lados AB y CD (de longitud 2.z) normales a la placa y los lados BC y DA (de longitud L) paralelos a ella. Si z < a entonces el camino es interior a la placa.
Visto desde un punto del eje POR más alejado del origen que la placa, el campo magnético en el recorrido siempre apuntará en cada lado, en sentido anti-horario (esto es así porque se cumplirá la regla del sacacorchos para una distribución de corriente que apunta hacia nosotros), esto es, según la dirección negativa de y para z > 0. Sabemos que el campo magnético B en los lados AB y CD debe ser nulo porque la placa es infinita y si tomamos un camino rectangular idéntico y adyacente a AB por la izquierda, el vector de campo magnético correspondiente tendrá igual módulo pero sentido contrario y por tanto se contrarrestarán. Lo mismo pasa con CD si tomamos un rectángulo adyacente por la derecha. Nos quedan los lados BC y DA: en ellos el campo debe ser constante y su dirección coincidente con el propio recorrido (horizontal) porque cualquier componente no horizontal sería automáticamente contrarrestada por la simetría de la placa infinita. La integral cerrada S(B*. Dl*) se reduce al producto -2.B.L (el signo menos indica el sentido negativo de B* para z > 0) contabilizando sólo los dos tramos no nulos B.L de la integral correspondientes a los lados BC y DA.
Ahora aplicamos Ampere: -2.B.L = mu.I
Sabemos que la intensidad de corriente I se obtiene de integrar la densidad de corriente J* en el área encerrada por el camino escogido:
I = S(J*.dA*)
El diferencial de área es dA* (vector normal a la superficie). Como J* y dA* son paralelos (ambos según el eje X) entonces se puede escribir I = S(J.dA) y como además la distribución de corriente es estacionaria: I = Jo.A donde A es el área total limitada por el camino rectangular escogido A = L.2.z. Resulta:
-2.B.L = mu.Jo.L.2.z , esto es:
B = -mu.Jo.z (-a < z < a)
Esto para puntos interiores.
Para un punto en la superficie de la placa (z = +-a) tenemos B = -+mu.Jo.a.
Para puntos exteriores de la placa tomaríamos un camino rectangular semejante al anterior pero que se extiende fuera de la placa por ambos lados. La única diferencia en el cálculo es que ahora, independientemente de la distancia a que se encuentren los lados BC y DA del plano medio de la placa, la distribución de corriente que contribuye al campo magnético es siempre la misma, la contenida dentro de la placa, puesto que fuera de la placa es nula. Resulta:
B = -mu.Jo.a (z > a)
B = mu.Jo.a (z < a)
Si representamos gráficamente el módulo del campo magnético B en ordenadas frente a z en abscisas obtenemos un tramo recto proporcional a z entre los puntos (z = -a ; B = +mu.Jo.a) y (z = +a ; B = -mu.Jo.a) que pasa por tanto por el origen y dos rectas horizontales; por encima del eje de abscisas, de ordenada constante B = +mu.Jo.a, para z < -a y por debajo del eje de abscisas, de ordenada constante B = -mu.Jo.a, para z > +a.
2) Podemos aplicar el principio de superposición, si consideramos que la placa de espesor 2.a es una suma infinita de planos (sin espesor) paralelos al plano XY entre las coordenadas z = -a y z = +a. Por lo tanto para obtener el campo magnético total podemos obtener el campo magnético debido a un solo plano e integrar el resultado entre z = -a y z = +a.
Para obtener el campo creado por un plano infinito en un punto determinado, a distancia normal z del plano, sobre el eje POR, debemos integrar las contribuciones de los hilos diferenciales de corriente (que son paralelos al eje X) entre y = -infinito e y = +infinito. Ahora debes imaginarte el dibujo visto desde el mismo punto del apartado anterior con un hilo diferencial de corriente apuntando hacia el observador (visto como un punto), a una distancia y del eje X; el segmento que une el hilo con el punto donde vamos a calcular el campo magnético mide una distancia de = z /cos(alpha) donde alpha es el ángulo que forma con la vertical.
El campo magnético creado por el hilo de corriente es un vector de módulo:
dB = -mu.dI / (2.pi.d) = -mu.dI.cos(alpha) / (2.pi.z)
Normal a la dirección del hilo y al segmento, en el plano normal, que lo une con el punto de cálculo, y sentido según la regla del sacacorchos, así que formará un ángulo alpha con la horizontal. Ahora bien, sólo la componente horizontal contribuirá a la suma total, porque, dado que el plano es infinito, la componente vertical será compensada siempre por la componente vertical debida a otro hilo de corriente situado simétricamente respecto al eje X. Por tanto sólo debemos considerar:
dB = -mu.dI.cos(alpha) / (2.pi.d) = -mu.dI.cos^2(alpha) / (2.pi.z)
En función de la densidad de corriente será dI = Jo.dA donde dA = dy.dz es el diferencial de área atravesado por la corriente del hilo diferencial, siendo dy = z.d(alpha)/cos^2(alpha) pues resulta de diferenciar y = z.tg(alpha). Resulta:
dB = -mu.Jo.dz.cos^2(alpha).z.d(alpha)/[cos^2(alpha) .2.pi.z]
que simplificando queda:
dB = -mu.Jo.d(alpha).dz / (2.pi)
Ahora hay que integrar entre alpha = -pi/2 y +pi/2 para considerar todos los hilos de corriente del plano infinito y después entre z =-a y +a para considerar todos los planos contenidos en la placa de espesor 2.a. Esto es, tenemos una integral doble:
B = -[mu.Jo / (2.pi)].S(dz).S(d(alpha)) con los límites de integración indicados.
El valor de la primera integral es 2.z y el de la segunda es pi, así que:
B = -mu.Jo.z si el punto es interior a la placa.
B = -mu.Jo.a (z > a)
B = mu.Jo.a (z < a)
si el punto es exterior (por las mismas consideraciones del apartado anterior).
Obtenemos, como se ve, el mismo resultado que antes.
3) El potencial vector A* es un vector tal que el vector campo magnético B* se obtiene como su rotacional B* = rot A*.
La expresión del rotacional es el determinante de la matriz 3X3 cuya primera fila está compuesta de los tres vectores unitarios (ux*, uy*, uz*), la segunda por los operadores derivada parcial respecto a x, respecto a y, respecto a z, y la tercera por las componentes de A*, (Ax, Ay, Az). Como B* sólo tiene componente según y entonces sólo nos quedaremos con la componente según y, del determinante anterior:
B* = [derivada parcial de Ax con respecto a z - derivada parcial de Az con respecto a y].uy*
Pero la derivada parcial con respecto a x de Az debe ser nula por simetría debido a que la placa es infinita. Así que:
B* = [derivada parcial de Ax con respecto a z].uy*
La derivada parcial se convierte en total porque Ax sólo va a ser función de z (no es función de x ni de y por las mismas razones de simetría) luego el módulo del campo magnético es:
B = -mu.Jo.z = derivada de Ax con respecto a z.
Si integramos y despreciamos la constante de integración, resulta que:
Ax = -mu.Jo.z^2 / 2
Las componentes Ay, Az se pueden considerar nulas para simplificar puesto que considerando sólo componente según x tenemos una solución válida para que su rotacional sea el campo B* calculado. Así que podemos tomar como potencial vector:
A* = -mu.Jo.z^2 / 2 .ux*
Esto para puntos interiores.
Para puntos exteriores B = -+mu.Jo.a con lo que al integrar en z resulta:
A* = -mu.Jo.a.z .ux*
