¿Qué propiedades cumplen las matrices con respecto a la multiplicación?
Tengo entendido que las matrices con respecto a la suma cumplen todas las propiedades del campo (se asocian, conmutan, etc).
1. ¿Esto es correcto?
2. Con respecto a la multiplicación ¿Qué propiedades cumplen las matrices?
3. ¿Cuál es la diferencia entre un campo y un anillo?
1 respuesta
Pedro Juarez!
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Las matrices nxn con la suma y producto son un anillo.
Eso significa que la suma tiene las mismas propiedades que un cuerpo:
1)
Asociativa
Elemento neutro.
Elemento inverso.
Conmutativa.
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2)
Y con la multiplicación se cumple
Asociativa
Distributiva respecto de la suma
Adicionalmente es un anillo unitario porque la multiplicación tiene elemento neutro, la matriz identidad. Y no es un anillo conmutativo porque el producto no es conmutativo.
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3)
El campo tiene las propiedades del anillo y aparte:
La multiplicación es conmutativa.
La multiplicación tiene elemento neutro
Todo elemento salvo el 0 tiene elemento inverso.
Podría expresarse de otra forma como que es un anillo donde el conjunto menos el 0 es un grupo abeliano con la multilicación.
Respecto de un anillo conmutativo con unidad solo le faltaría l existencia de elemento neutro para todo elemento distinto del 0.
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Y eso es todo.
¿se cumple lo mismo en la suma para las matrices nxm y el la multiplicación para matrices de la forma nxm y mxp?
La suma tiene las mismas propiedades para cualquier dimensión que tenga la matriz.
Pero es que para el producto hay que poner algunas reglas, si tu pones matrices de cualquier dimensión habrá multiplicaciones que no se podrán hacer y no será una operación interna, la única forma de asegurar que dadas dos matrices cualesquiera se puedan multiplicar entre si tanto a derecha como a izquierda es si son matrices nxn, por eso el anillo es el de las matrices nxn y hay un anillo distinto para cada n.
