Tengo una duda en derivadas
Halla el volumen máximo de una caja abierta (sin tapa) de una plancha de cartón de 60cm de largo por 30cm de ancho, si se recorta un cuadrado en las esquinas y dobladas para formar la caja, cuáles serían las dimensiones de la caja
2 Respuestas
Tienes que hallar la función Volumen de la caja en función del dato ( lado x del cuadrado).
Supérficie de la plancha = 60 x 30 =1800 cm^2
Supérficie de cada cuadrado de lado x = x^2
Su´perficie resultante de la base = 1800 - 4 x^2
Volumen de la caja a construir = (1800 - 4x^2) . x = 1800 x - 4 x^3
Derivada de esta funcion = 1800 - 12 x^2
Con maximos en x= +/- V(1800/12) = +/- 12.25 cm.
La altura buscada de la caja de volumen máximo seria = 12.25 cm.
Las bases serían 60 - 2x de largo y 30 - 2x de ancho.
Volumen máximo = (60-2x) . (30-2x) . (12.25). cm 3.
Otra forma de razonarlo. Consideremos que el lado del cuadrado recortado será la altura del prisma. Su volumen será:
a) V= (60cm - 2h)*(30cm-2h)*h;
V= (1800cm^2 - 120cm*h - 60cm*h)*h;
V= 1800 cm^2 * h - 180 cm*h^2; vemos que es correcta la unidad: cm^3 y que además es una parábola cuadrática invertida (término cuadrático negativo), por lo que en su vértice tendrá el máximo.
Derivamos dV/dh = 1800 cm^2 - 360 cm*h; igualamos a 0:
1800 cm^2 = 360 cm * h; despejamos h:
1800 cm^2 / 360 cm = h;
h=5cm; para el volumen máximo. Reemplazo en a):
V(máx) = (60cm-10cm) * (30cm - 10 cm) * 5 cm;
V(máx) = 50 cm * 20 cm * 5 cm;
V(máx) = 5000 cm^3
Podemos analizar V=(60-2h)(30-2h)h, que es una parábola cúbica con un cero cuando h=0 y otro cero cuando h=15 (obviamente al hacerse (30-x*15)=0. El tercer cero sería cuando h=30, pero esto es imposible de lograr con una lado de 30 cm, al que no se le puede restar 60 cm. Puedes observar la gráfica en:
https://www.wolframalpha.com/input?i=Plot+y%3D%2860+-+2x%29*%2830-2x%29*x%3B&lang=es
La parábola cuadrática invertida queda al derivar la función. Quedó esta explicación antes de derivar, lo que podría confundir.
En la gráfica de Wolfram puede verse que el máximo del volumen (5000 cm^3) se logra cuando x (que es nuestra h) vale 5 cm. La gráfica solamente debería abarcar el intervalo (0; 15), ya que es el mínimo y el máximo que podría valer la altura del prisma.
MI RESPUESTA TIENE UN ERROR casi desde el inicio, que arrastra hasta el final. Disculpas.
Resolveré de nuevo. Cada lado del cuadrado a recortar es igual a la altura (h) del prisma.
V=(60-2h)*(30-2h)*h; opero:
V= 1800h - 180h^2 + 4h^3; es una parábola cúbica. Derivo para obtener máximos y mínimos.
dV/dh= 1800 - 360h + 12h^2; igualo a 0: 0= 1800-360h+12h^2; simplifico por 12:
0= 150-30h+h^2; Baskara:
h=23.66 cm (imposible de aplicar porque no puedo restar 2*23.66 a 30);
h=6.34 cm, que es el valor a aplicar.
Veamos ahora Vmáx con este valor de h:
Vmáx=(60-12.68)*(30-12.68)*6.34;
Vmáx = 5196.15 cm^3.
La gráfica de la parábola cúbica es:
https://www.wolframalpha.com/input?i=Plot+y%3D%2860+-+2x%29*%2830-2x%29*x%3B&lang=es
Donde se puede apreciar el Volumen máximo en 5196.15 cm^3 (en el eje y) con h=6.34 cm (en el eje x).
Puedo corroborar que es un máximo aplicando 2° derivada:
d2V/dh^2= 24h-360;
d2V/dh^2= 152.16 - 360; valor negativo, que indica máximo en el punto h=6.34.
¡Gracias!
cuáles serían las dimensiones de la caja ?
cuáles serían las dimensiones de la caja ?
La altura sería de 6.34 cm; el ancho de 30-2*6.34=17.32 cm; el largo de 60-2*6.34=47.32 cm.
Hola Albert, gracias por la invitación a revisar tu razonamiento (je,je¡¡ como si yo supiera). Te aclaro que no me fue nada fácil descubrirlo. Cuando decís que la superficie de la base del prisma (que luego será multiplicada por x para hallar V) es (1800 - 4x^2), en realidad estás obteniendo la superficie de un plano en forma de cruz, al que se le han restado las cuatro esquinas (que podría valer para cualquier forma de base también). PERO estás olvidando que las cuatro "aletas" que formarán las caras laterales del prisma serán plegadas hacia arriba y por lo tanto también hay que restarlas de la superficie (1800-4x^2). - - Norberto Pesce
Quedaría entonces: V=x* [(1800-4x^2) - 2*x*(60-2x) - 2*x*(30-2x)]; desarrollando:V=x* (1800-4x^2 - 120x + 4x^2 - 60x + 4x^2). V= x * (1800 - 180x + 4x^2); Finalmente: V= 1800x - 180x^2 + 4 x^3.Cuál es tu opinión? - - Norberto Pesce