Problema con el inmovilizador de Clio 2 1.2 16v

Tengo un problema de arranque con un Clio 2 1.2 16v, del 2001. Es un problema que se está alargando en el tiempo y que nos está haciendo considerar la posibilidad de deshacernos de él. Paso a enumerar los síntomas:

El coche al dar el contacto para arrancar, la luz roja del inmovilizador (círculo rojo en el salpicadero) empieza a parpadear rápido, y el coche no hace ningún amago ni mención de arrancar. De manera que quito el contacto, y vuelvo a darlo, y si la luz vuelve a parpadear rápido repito la operación, hasta que a la enésima vez que doy al contacto la luz aparece roja fija, y entonces en unos segundos se apaga, y ya puede arrancar.

Como esto a veces se alargaba bastante, descubrí el truco de que dando al mando de la llave con ella puesta y girando el contacto a la vez, SIEMPRE se quedaba la luz roja fija, y por lo tanto arrancaba (supongo que tendrá su lógica…)

Ahora se me ha estropeado la llave. Pensé que era la pila, pero se la he cambiado y sigue sin ir, de manera que entiendo que algo del mando de la llave se ha estropeado. Creía que por este motivo dejaría de funcionar mi truco, pero curiosamente… sigue funcionando! (Ahora sí que no entiendo nada).

En el taller lo enchufan a la máquina y no da avería, y lo único que me recomiendan es cambiar la centralita, aunque no me garantizan que sea de ahí, o la llave, aunque tampoco me lo garantizan… Como ambas cosas no son baratas y estoy un poco cansado del tema, pues la verdad que estoy pensando en la posibilidad en jubilarlo.

¿Qué puedo hacer? ¿Alguna idea?