Está bien dicho que una función factorial crece más que una función exponencial?
¿Es correcto decir que una función factorial crece más que una función exponencial?... ¿La función N elevado N queda fuera de esa afirmación?, Lo he visto por ahí decir a profesionales de las matemáticas y necesito aclarar esa duda.
2 Respuestas
Saquemos el caso n^n y lo dejamos para el final
Lo que planteas es
n! > a^n (a partir de un cierto n_0, que dependerá de 'a')
Esto es correcto y una forma de demostrarlo es por Inducción, te lo haré de esa forma, aunque no sé cual es tu nivel para saber si conoces el principio de inducción. El mismo consiste en demostrarlo para un caso base y luego considerando que vale para el término enésimo, demostrar que vale para el término n+1
Para fijar conceptos voy a considerar que a = e (el valor de e = 2.7182...)
Caso base n=6 (te dejo ver que para los valores menores a 6 esto no se cumple)
6! = 720
e^6 = 403.429
6! > e^6 VALE
Ahora, para valores mayores que 6, supongamos que vale para n y veamos que se cumple para n+1. En términos matemáticos, lo que queremos probar es que si
n! > e^n ==> (n+1)! > e^(n+1)
(n+1)! = (n+1) n! > (n+1) e^n (en esta última desigualdad usé la inducción)
(n+1) e^n > e * e^n = e^(n+1) Como queríamos demostrar
Respecto a n^n, si bien no es una demostración rigurosa, te dejo una gráfica donde se puede apreciar que es cierto lo que creías respecto a que n^n crece más rápido que n!
Gracias Gustavo, perfecta su explicación, pero mi pregunta era otra,¿quizás no me he explicado bien... lo que quisiera saber es que decir que algo "crece factorialmente " implica que crece más que algo que " crece exponencialmente"... es correcto decir eso?
Es que el dicho se basa justamente en el hecho que la función factorial crece más rápido que la función exponencial, por eso mismo estaría bien usado (aunque sinceramente nunca escuché esa expresión :-))
¡Gracias! Gustavo, me quedo con tu respuesta....simplemente quería aclarar una conversación entre amigos....yo siempre he escuchado la expresión " crece exponencialmente" para referirse a algo que crece mucho ..pero podríamos usar la expresión "crece factorialmente " para expresar que algo crece más aún que exponencialmente, aunque no se use a la hora de hablar, y a pesar de la N elevado a N que aunque crece más que la factorial no invalida la afirmación que " factorialmente crece más que exponencialmente"
Saludos.
Complementando la explicación de Gustavo.
Te podría citar que la expresión a^n / n! Puede hacerse siempre menor que un epsilon suficientemente pequeño a partir de un n suficientemente grande.
Es una demostración clásica de Análisis matemático.
O sea que la FACTORIAL será siempre mayor que la EXPONENCIAL a partir de un N determinado.
El tema de N^N te lo comento ya Gustavo.
Gracias Albert...pero si yo le digo a alguien.." la función factorial crece más que la exponencial" estoy diciendo algo erróneo?
Estás diciendo algo verdadero. A partir de un cierto valor creciente de N el factorial siempre superará al exponencial.
¡Gracias! Albert, quería saber qué la N elevado a N no invalida decir que algo crece factorialmente para dar énfasis en que algo crece más aún que exponencialmente....aunque no sea usual usar ese término y simplemente usar la palabra exponencialmente sea suficiente