Si una función es decreciente en todo su dominio, entonces ¿La función no tiene ni máximos ni mínimos? ¿Por qué?
ES PARA HOY ayuda Si una función es decreciente en todo su dominio, entonces ¿la función no tiene ni máximos ni mínimos? ¿Por qué?.
2 respuestas
Pues voy a contradecir a Saúl con un contraejemplo
f: [0; 10] --> R / f(x) = -x
Claramente esa función es decreciente en todo su dominio, pero la función tiene un máximo en x=0 y un mínimo en x=10
Para que sea cierto, faltaría decir que el dominio debe ser todo R o, al menos, un intervalo abierto, ya que si el dominio es un intervalo cerrado la propuesta es falsa (como te acabo de demostrar con el ejemplo)
Salu2
Si una función es decreciente en todo su dominio la derivada de la función es negativa en cualquier valor, pues la interpretación física de la derivada en un punto es la de la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Para que haya un máximo o un mínimo la pendiente debe ser 0 en algún momento, lo cual implicaría que la derivada se anularía... lo cual no puede ser por hipótesis pues es decreciente en todo su dominio (f'(x)<0 para todo x perteneciente al dominio)
Cierto! Gracias por la corrección. Olvidé el caso de un intervalo cerrado y acotado como dominio. - Pablo Medina Ramos
No solo eso, la función -x^3, su derivada es cero en x = 0, pero es decreciente en todo su dominio - Alejandro Salazar
Eso es cierto Ale, pero no contradice el enunciado ya que x=0 no es ni máximo ni mínimo en y=-x^3 - Anónimo
Si, pero lo decía porque Saúl menciona que en una decreciente la derivada siempre en negativa y eso no es cierto. Por otro lado yo supongo que la pregunta va relacionada a con los extremos y no máximo/min absolutos - Alejandro Salazar
A perfecto! - Anónimo