Para que valores de la x la expresion es real

Cuando tienes valor absoluto debes separar los casos...

$$\begin{align}&\text{Queremos que:}\\&\frac{|2x-1|}{|x|+3}-1 \ge 0\\&\\&i)\\&|x|\ge 0 \to \\&x \ge 0 \to|x| = x\\&x< 0 \to |x| = -x\\&ii)\\&|2x-1|\ge 0 \to \\&x \ge \frac{1}{2} \to |2x-1| = 2x-1\\&x < \frac{1}{2} \to |2x-1| = -2x+1\\&\text{Ahora deberías analizar los siguientes casos:}\\&x \in (-\infty,0]\\&x \in (0,\frac{1}{2}]\\&x \in (\frac{1}{2}, + \infty)\end{align}$$

Intenta avanzar con eso y avisa donde te frenes...

Salu2