Calcular la integral de línea curvilínea

El contorno debes dividirlo en dos trozos para poder parametrizarlo.

El primer trozo es la semicircunferencia de radio 2 y centro en el origen recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj, eso puedes parametrizarlo con:

x(t) = 2 cost

y(t) = 2 sent

para 0 <= t <= pi

tendrás:

dx(t) = -2sent dt

dy(t) = 2cost dt

con ello la integral curvilinea a lo largo de la semicircunferencia es:

$$\begin{align}&\int_0^\pi\left(4\,sen^2\,t·(-2\,sen\,t)+(4sen\,t\,\cos\,t+4\,\cos^2 t)·2\,\cos\,t\right)dt=\\&\\&\int_0^\pi\left(-8\,sen^3\,t+8sen\,t\,\cos^2\,t+8\,\cos^3 t\right)dt=\\&\\&8\int_0^\pi\left(-sen\,t(1-\cos^2\,t)+sen\,t\,\cos^2\,t+\cos\, t(1 -sen^2\,t)\right)dt=\\&\\&8\int_0^\pi(-sen\,t+sen\,t\,\cos^2\,t+sen\,t\,\cos^2\,t+\cos\,t-\cos\,t\,sen^2t)=\\&\\&8\left[\cos\,t-\frac {\cos^3\,t}{3} -\frac {\cos^3\,t}{3}+ sen\,t-\frac{sen^3\,t}{3}\right]_0^\pi=\\&\\&8\left(-1+\frac 13+\frac 13+0-0-1+\frac 13+\frac 13\right)=-\frac{16}3\\&\\&\end{align}$$

Y a esto habrá que sumarle la integral curvilinea a traves del segmento que va desde (-2, 0) a (2, 0)

cuya parametrización puede ser:

x(t) = t

y(t) = 0

para -2 <= t <= 0

será

dx(t) =1

dy(t) = 0

quedando esta integral

$$\begin{align}&\int_{-2}^2((0^2·1+(t·0+t^2)·0)dt=\\&\int_{-2}^20\,dt=0\end{align}$$

Luego no se debe sumar nada y el resultado es -16/3

Y eso es todo.