Como soluciono esta desigualdad racional

Hay varias maneras, veamos una

$$\begin{align}&\frac{5}{x}>x-2\\&\frac{5}x-(x-2) > 0\\&\frac{5-x+2}x>0\\&\frac{7-x}x>0\\&\text{Ahora separamos los casos donde numerador o denominador se hace 0 que son:}\\&x=0 \text{ denominador =0}\\&x=7 \text{ numerador =0}\\&\text{En el resto de los valores de x, la función será siempre continua por lo que no cambiará de signo}\\&\text{Por lo que basta ver cuanto valdrá la función en un punto cualquiera del intervalo y en todo el intervalo valdrá lo mismo}\\&\text{Nos quedan los intervalos:}\\&(-\infty,0) \text{ voy a evaluar la función en x=-1}\\&(0,7) \text{ voy a evaluar la función en x=1}\\&(7, +\infty) \text{ voy a evaluar la función en x=10}\\&x=-1 \to \\&\frac{7-(-1)}{-1}=-8>0 \ FALSO\\&x=-1 \to \\&\frac{7-(1)}{1}=6>0 \ VERDADERO\\&x=10 \to \\&\frac{7-(10)}{10}=-\frac{3}{10}>0 \ FALSO\\&\text{Por lo tanto la solución es}\\&x \in (0,7)\end{align}$$

Salu2