Demuestre que si zw es real entonces ∃k∈R tal que w=kz

Es falso, tomemos un caso en especifico

Tomemos un complejo z=a+bi, y otro complejo w que es el conjugado de z w=a-bi

$$\begin{align}&z.w=(a+bi)(a-bi)\\&z.w=a^2+b^2\end{align}$$

Su multiplicación es un numero real. Veamos ahora si hay un k que cumple que w=kz

$$\begin{align}&w=kz\\&a-bi=k(a+bi)\\&k=\frac{a-bi}{a+bi}\frac{a-bi}{a-bi}\\&k=\frac{(a-bi)^2}{a^2+b^2}\\&k=\frac{a^2-2bi-b^2}{a^2+b^2}\\&k=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}-\frac{2b}{a^2+b^2}i\end{align}$$

Es decir para que w=kz, k debe ser un numero complejo, no un numero real