Base de polinomio de 4to grado
Hace días me estoy rompiendo la cabeza con esto.
Necesito una base que genera polinomios de 4to grado tal que f (1)=0 y f (2)=f (3).
¿Qué hiciste hasta ahora? Intenta poner lo que hayas hecho (aunque esté mal), porque eso sirve para que te guiemos...
Por lo pronto tenemos que el polinomio tendrá la forma
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e ..........(con a distinto de 0)
Además
P(1) = 0 = a + b + c + d + e
P(2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e
P(3) = 81a + 27b + 9c + 3d + e
y P(2) = P(3), o sea
16a + 8b + 4c + 2d + e = 81a + 27b + 9c + 3d + e
0 = 65a + 19b + 5c + d
¿Llegaste hasta acá? ¿Qué más hiciste?
Hice exactamente eso, de la última ecuación que escribiste despeje de y reemplace en la primera por lo que queda que:
e=64a+18b+4c
Y de aquí me surge una subpregunta.
Supuestamente la ec. de 4to grado tal que: e=64a+18b+4c
tendría que satisfacer que f (1)=0 y que f (2)=f (3)
Pero eso no sucede.
Por ejemplo decimos que:
f (x)=x^4+x^3+x^2+x+(64+18+4)
No satisface las premisas f (1)=0 etc.
Por lo que mi problema recide en encontrar el polinomio genérico.
Gracias
Lo que tu hiciste está bien, vos llegastes a:
e = 64a + 18b + 4c
Lo que te faltó es usar también la condición que dice P(2) = P(3) de donde podés sacar que
65a + 19b + 5c + d = 0, y de acá se deduce que d = -65a - 19b - 5c
Por lo tanto te queda que el polinomio queda con 'a', 'b', 'c' libre, pero 'd', 'e' están fijos, así que el polinomio genérico sería:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + (-65a - 19b - 5c) x + (64a + 18b + 4c)
o lo que es equivalente
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 - (65a + 19b + 5c) x + (64a + 18b + 4c)
Salu2
10000^9,8 gracias, me quedo de dimensión 3 ( :
Saludos y de nuevo muchísimas gracias!!
Perdón así me ha quedado la base
f=<( x^4-65x+64,x^3-19x+18,x^2-5x+4)>
es correcto?
Pues si todos los polinomios P(x) los puedes escribir con esa base, pues entonces está bien, o sea, la idea es ver si cualquier polinomio de la forma
ax^4 + bx^3 + cx^2 - (65a + 19b + 5c) x + (64a + 18b + 4c) = A (x^4-65x+64) + B (x^3-19x+18)+ C (x^2-5x+4)
Desarrollando la parte derecha
Ax^4 - 65Ax+ 64A + Bx^3 - 19Bx + 18B + Cx^2 - 5Cx + 4C =
Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 - (65A + 19B + 5C)x + 64A + 18B + 4C
claramente haciendo
a=A
b=B
c=C
Cumple!