3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
$$\begin{align}&dy/dx=sen(x-y+1);si y(0)=2π\\&\\&\\&(-4x+3y-7)dx-(x+1)dy=0\\&\\&\\&\\&2xdy-(y+xy^3 (1+Ln(x)))dx=0\\&\end{align}$$
(La A alguien lo pregunto antes, te dejo el link Ecuaciones diferenciales por variables separables )
$$\begin{align}&(−4x+3y−7)dx−(x+1)dy=0\\&\frac{dy}{dx}=\frac{-4x-7}{x+1}+\frac{3y}{x+1}\\&\frac{dy}{dx}-\frac{3y}{x+1}=\frac{-4x-7}{x+1}\end{align}$$Como veras la b tiene la forma y'+P(x)y=Q(x)
Multiplicando todo por u(x) y'u(x)+P(x)u(x)y=Q(x)u(x) ,donde u(x) es
u(x)=e∫p(x)dx
Hallamos u(x) y nos queda
$$\begin{align}&e^{-3ln|x+1|}\\&&\frac{1}{(x+1)^3}\end{align}$$Nos queda
$$\begin{align}&\frac{1}{(x+1)^3}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{(x+1)^3}\frac{3y}{x+1}=\frac{1}{(x+1)^3}\frac{-4x-7}{x+1}\\&\frac{1}{(x+1)^3}\frac{dy}{dx}-\frac{3y}{(x+1)^4}=\frac{-4x-7}{(x+1)^4}\\&(y \frac{1}{(x+1)^3})'=\frac{-4x-7}{(x+1)^4}\\&\int{(y \frac{1}{(x+1)^3})'}dx=\int{\frac{-4x-7}{(x+1)^4}}dx\\&y \frac{1}{(x+1)^3}=\frac{2x+3}{(x+1)^3}+C\\&y=2x+3+C(x+1)^3\end{align}$$
$$\begin{align}&2xdy−(y+xy^3(1+Ln(x)))dx=0\\&2xdy=(y+xy^3(1+Ln(x)))dx\\&\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}+\frac{xy^3(1+Ln(x))}{2x}\\&\frac{dy}{dx}-\frac{y}{2x}=\frac{x(1+Ln(x))}{2x}y^3\\&\end{align}$$Es una ecuación de bernoulli de la forma
y'+p(x)y=q(x)y^r. Se hace cambio de variable z=y^(1-r)
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}-\frac{y}{2x}=\frac{x(1+Ln(x))}{2x}y^3\\&\frac{1}{y^3}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{2xy^2}=\frac{x(1+Ln(x))}{2x}\\&z=y^{-2}\\&\frac{1}{z}=y^2\\&2y \frac{dy}{dx}=\frac{-1}{z^2}\frac{dz}{dx}\\&\frac{-1}{2}\frac{dz}{dx}-\frac{z}{2x}=\frac{1}{2} +\frac{lnx}{2}\\&z'+\frac{1}{x}z=-1- lnx\\&\end{align}$$Y ahora es una ecuación diferencial lineal
factor integrante
$$\begin{align}&e^{\int{\frac{1}{x}}dx}=\\&x\\&\end{align}$$$$\begin{align}&xz'+z=-x-xlnx\\&(xz)'=-x-xlnx\\&xz=\int{-x-xlnx}dx\\&xz=-\frac{x^2(2lnx-3)}{4}+C\\&z=-\frac{x^2(2lnx-1)}{4x}+\frac{C}{x}\\&y^{-2}=\frac{-2x^2lnx+x^2+C_2)}{4x}\\&y=\sqrt{\frac{4x}{-2x^2lnx+x^2+C_2}}\end{align}$$
$$\begin{align}&dy/dx=sen(x-y+1);si y(0)=2π\end{align}$$despejar claro este ejercicio no logro entenderlo.
Gracias
Haces sustitución
u=x+1-y (derivando)
u'=1-y'
y'=1-u'
$$\begin{align}&1-u'=sen(x-(x+1-y)+1)\\&1-u'=sen(u)\\&u'=1-sen(u)\\&\frac{1}{1-sen(u)} \frac{du}{dx}=1\\&\frac{1}{1-sen(u)}du=dx\\&\int \frac{1}{1-sen(u)}du=\int dx\\&\\&\\&\end{align}$$Hacemos la sustitucion weierstrass que nos dice lo siguiente (fue lo que hice en el link que te pasé pero puse el resultado de una)
$$\begin{align}&t=tan(\frac{u}{2})\\&du=\frac{2}{1+t^2}dt\\&\sin(u)=\frac{2t}{1+t^2}\\&\cos(u)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\&\\&\\&\int \frac{1}{1-\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt\\&2 \int \frac{1}{1+t^2-2t}dt\\&2 \int \frac{1}{(t-1)^2}dt\\&v=t-1\\&dv=dt\\&2 \int \frac{1}{v^2}dv\\&-2v^{-1}\\&\frac{-2}{t-1}\\&\frac{-2}{tan( \frac{u}{2})-1}+C\end{align}$$Y colocando ese resultado
$$\begin{align}&\frac{-2}{tan(\frac{u}{2})-1}=x+C\\&\frac{-2}{x+C}=tan(\frac{u}{2})-1\\&u=2arctan(\frac{-2}{x+C}+1)\\&x+1-y=2arctan(\frac{-2}{x+C}+1)\\&y=x+1-2arctan(\frac{-2}{x+C}+1)\end{align}$$Nos queda esa expresion que usando wolfram alpha c=4.40822344233583
Corrijo, no tiene solución para c
Y corrijo de nuevo c=4.40822344233583.
En la primera línea cuando sustituí y puse (x+1-y) pero es (x+1-u)
Y bueno es un resultado bastante extraño, estoy revisando para ver si tengo algo mal en el procedimiento pero nada
¡Gracias!
Un tanque Hemisférico posee un radio de 4 pies y en el instante inicial (t=0) está completamente lleno de un líquido acuoso que se requiere para hacer una mezcla. En ese momento; en el fondo del tanque se abre un agujero circular con diámetro de una (1) pulgada. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el líquido acuoso del tanque.
- 28 minutos 30 segundos
- 35 minutos 50 segundos
- 30 minutos 20 segundos
- 41 minutos 40 segundos
El ejercicio es algo largo escrito, para dártelo lo más especifico posible me va a tomar un tiempo. Apenas pueda te ayudo
¿Lo necesitas pronto? Puedo entregarlo mañana fácil, pero si lo necesitas hoy pues ...
¡Gracias!
tranquilo hay tiempo
Este tipo de ejercicios está relacionado con el teorema de toricelli(creo que se escribe así) que nos habla de vaciado de tanques .
$$\begin{align}&A(y)\frac{dy}{dt}=-a \sqrt{2gy}\end{align}$$Donde A(y) es el area del tanque si lo cortaramos en pedazos, en este caso forma circulos.
G es la gravedad, a es el área de la figura por donde sale el agua.
Empecemos con el área de los círculos que se obtienen al cortar en tanque en pedazos.
El área de estos círculos dependen de donde se corta la figura, van a depender de r. Cada circulo tendrá entonces A(y)=pi r^2, pero no tengo el valor de r, pero si se por la figura que hay un triangulo rectángulo con 4 y 4-y de hipotenusa y cateto
4^2=r^2+(4-y)^2
16=r^2+16-8y+y^2
Despejando r^2
r^2=8y-y^2
Por lo que el area de cada circulo es A(y)=pi(8y-y^2) (I)
Ahora el área del agujero por donde sale el agua nos dan el diámetro, dividiendo entre dos obtenemos el radio, eso si tenemos unidades distintas, 0,5 pulgadas son 1/24 pies aproximadamente, el área de ese agujero es a=pi*(1/24)^2=pi/576 (II), el agujero siempre es el mismo por lo que con ese valor nos es suficiente. La gravedad es 32 pies/s^2
Sustituyendo en la formula que puse al principio nos queda
$$\begin{align}&\pi(8y-y^2) \frac{dy}{dt}=-\frac{\pi}{576}\sqrt{2gy}\\&\end{align}$$Es una ecuacion de variables separables
$$\begin{align}&\frac{576\pi(8y-y^2)}{-\pi \sqrt{2gy}}dy=dt\end{align}$$$$\begin{align}&\int -\frac{576\pi(8y-y^2)}{\pi \sqrt{2gy}}dy=\int dt\\&\frac{-576}{ \sqrt{2g}} \int_{4}^{0} \frac{8y-y^2}{\sqrt{y}}dy=\int_{0}^{t}dt\\&\end{align}$$Viendo los limites inferiores de integracion cuando t=0 la altura del agua es 4 porque te dice que esta lleno, a partir de ahi va a ir disminuyendo en funcion del tiempo. Y en un tiempo t la altura de agua es cero cuando ya cae del todo
$$\begin{align}&\frac{-576}{ \sqrt{2g}} \int_{4}^{0} \frac{8y-y^2}{\sqrt{y}}dy=t\\&\frac{-576}{\sqrt{2g}}\Bigg( \frac{16y^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2y^{\frac{5}{2}}}{5} \Bigg)\Bigg ]_{4}^{0}=t\\&\frac{-576}{ \sqrt{2g}}\Bigg( -\frac{128}{3}+\frac{64}{5}\Bigg)=t\end{align}$$recordando que g=32 pies/s
$$\begin{align}&\frac{-576}{ \sqrt{2g}}\Bigg( -\frac{128}{3}+\frac{64}{5}\Bigg)=t\\&t=2150.4s\end{align}$$2150.4s son 35.83min, para ver el valor exacto con los segundos tomemos el valor 35 minutos que son 2100s restando 2150-2100=50
La respuesta es 35 min 50 s
Situación problema: Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radiactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; esto quiere decir que un material radioactivo se desintegra inversamente proporcional a la cantidad presente.
Si desde un principio hay 50 Miligramos (mm) de un material radioactivo presente y pasadas dos horas se detalla que este material ha disminuido el 10% de su masa original , se solicita hallar:
- Una fórmula para la masa del material radioactivo en cualquier momento t.
- La masa después de 5 horas.
EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA
$$\begin{align}&Solución planteada:\\&Sea x(t);Miligramos de material radiactivo en el instante inicial t\\&La ecuación corresponde a:\\&dx/dt=+kx(t)\\&Transponiendo términos se tiene;\\&dx/(x(t))=+kdt\\&Aplicando propiedades algebraicas tenemos:\\&∫▒dx/(x(t))=∫▒kdt\\&Resolviendo las integrales se obtiene:\\&ln〖(x(t))〗=-kdt-c.\\&Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que\\&x(t)=-ce^(-kt)\\&Por lo tanto ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t\\&\\& Cuando t=0; se tiene:\\&x(o)=50; por ende,\\&50=c\\&\\&Ahora bien, cuando t=2 Se tiene \\&x(o)=40; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%.Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así:\\&40=ce^(-2k)\\&45=40e^(-2k)\\& Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos:\\&-2k=ln|45/40|\\&\\&k=ln|45/40|/(-2)\\&\\&Por lo que el valor de la constante c, corresponde a:\\&\\&k=0,0526803\\&\\&Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación.\\&x(t)=45e^(-0,0526803t)\\&\\&Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es: \\&x(5)=45e^(-0,0526803(-5))\\&\\& Observación: Debo multiplicarlo por -5, para que la expresión elevada a la e me quede de forma positiva y pueda resolver la situación.\\&\\& Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a:\\&x(5)=40,5 mm\\&\\&\end{align}$$MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
La desintegración de sustancias radioactivas esta relacionada con la cinética química.
$$\begin{align}&-\frac{dC}{dt}=kC\end{align}$$Pongo dC pero puedes poner cualquier cosa
$$\begin{align}&\frac{dC}{C}=-kdt\\&\int_{C_0}^{C_1}\frac{dC}{C}=\int_{t}^{0}-kdt\end{align}$$k es una constante
$$\begin{align}&lnC_1-LnC_0=-kt\\&ln \frac{C_1}{C_0}=-kt\\&\frac{C_1}{C_0}=e^{-kt}\\&C_1=C_0e^{-kt}\end{align}$$C_0 corresponde a la cantidad inicial de 50mg o 0,050g (voy a usar gramos y segundos porque bueno esas serian las unidades pero en matematica no interesa ya que no es lo primordial en este caso claro)
Dice que pasaron 2 horas para que se fuera el 10% del material, es decir para que quedaran 45mg=0.045g, 2 horas son 7200 s, sustituyendo para hallar k
NOTA: Ok entiendo que en la solución aparece el tiempo como unidades en horas, el gramos en mg, no hay problema, si yo lo quiero hacer en segundos y gramos esta bien. Pero me pregunto de donde obtuvo el 40. "Se tiene \\&x(o)=40; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%" Bueno se supone que la cantidad inicial es 50 si pierde el 10% queda en 45. Al principio del ejercicio lo plantea más o menos bien x(t)=-ce^(-kt) pero el signo negativo del frente no va y luego dice C=50, es correcto y le queda x(t)=50e^(-kt). No entiendo por que razón luego cambia el valor de C a 45 y el valor de x(t) a 40. Intuyo que hizo el 10% le dio 45 y le resto de nuevo 5. Si fuiste tu tampoco hay problema eh, yo ando equivocándome a cada rato también debido a descuidos. Continuando
$$\begin{align}&C_1=0.05e^{-kt}\\&0.045=0.05e^{-7200k}\\&e^{-7200k}=0.9\\&k=1.46x10^{-5}\end{align}$$La expresion final queda
$$\begin{align}&C=0.05e^{-1.46x10^{-5}t}\end{align}$$Y sustituyendo 5 horas que son 18000s
queda C=0.038g que son 38mg
Puedes hacer el mismo procedimiento pero dejando el tiempo en horas si es lo que te piden, eso si los resultados variaran, pero el final te debe dar lo mismo
Osea el valor de k debe darte distinto pero al sustituir t=5 horas te debe dar 38 aproximadamente
¡Gracias!
- ¿Qué es una imagen pancromática, multiespectral e hiperespectral, dar ejemplos de aplicabilidad, es decir, si es para determinar cobertura, o agua, o fauna o geología, cual es la imagen más apropiada?
Este, ahí no tengo pero la más mínima idea
$$\begin{align}&2y^´´+3y^´-2y=14x^2-4x-11;si y(0)=0,y^´ (0)=0\end{align}$$
Es una no homogénea,
$$\begin{align}&2y''+3y'-2y=0\\&y=e^{rx}\\&2r^2e^{rx}+3re^{rx}-2e^{rx}=0\\&e^{rx}(2r^2+3r-2)=0\\&\\&r_1=\frac{1}{2}\qquad r_2=-2\\&\\&Y_h=C_1 e^{\frac{t}{2}}+C_2e^{-2x}\end{align}$$$$\begin{align}&2y''+3y'-2y=14x^2-4x-11\\&\\&Y_P=Bx^2+Cx+D\\&\\&2(2B)+3(2Bx+C)-2(Bx^2+Cx+D)=14x^2-4x-11\\&4B+6Bx+3C-2Bx^2-2Cx-2D=14x^2-4x-11\\&-2Bx^2+(6B-2C)x+(4B+3C-2D)=14x^2-4x-11\\&\\&B=-7\\&C=-19\\&D=-37\\&\\&Y_P=-7x^2-19x-37\\&\\&y=C_1e^{\frac{x}{2}}+C_2e^{-2x}-7x^2-19x-37\\&\end{align}$$Y ahora hallar las constantes
$$\begin{align}&y=C_1e^{\frac{x}{2}}+C_2e^{-2x}-7x^2-19x-37\\&y(0)=0=C_1+C_2-37\\&\\&y'=\frac{C_1}{2}e^{\frac{x}{2}}-2C_2e^{-2x}-14x-19\\&y'(0)=0=\frac{C_1}{2}-2C_2-19\\&C_1=\frac{186}{5} \qquad C_2=\frac{-1}{5}\\&\\&y(x)=\frac{186}{5}e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{5}e^{-2x}-7x^2-19x-37\end{align}$$
¡Gracias!
Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Como despejar el ejercicio paso a paso.
Gracias
tiempo sin saber de ti..
Usando la ley de newton de sumatoria de fuerzas nos queda que
$$\begin{align}&-kx- \beta v+ f(t)=ma\end{align}$$Y recuerda que v (la velocidad) es la primera derivada de la posicion con respecto al tiemo y la aceleracion es la segunda, se hace lo que muestro abajo y sustituyo valores numericos
$$\begin{align}&-kx- \beta x'+ f(t)=mx"\\&f(t)= mx''+\beta x'+ kx\\&f(t)=5 \cos(4t)=\frac{1}{5}x''+1.2x'+2x\\&25 \cos (4t)=x''+6x'+10x\end{align}$$Es una ecuacion diferencial no homogenea. Hallemos la ecuacion general cuando=0, y luego la particular
$$\begin{align}&x''+6x'+10x=0\\&r^2+6r+10=0\\&r=\frac{-6 \pm \sqrt{36-40}}{2}=\frac{-6 \pm 2i}{2}\\&r_1=-3+i\\&r_2=-3-i\\&Yg=C_1e^{-3t}\cos(t)+C_2e^{-3t}\sin(t)\end{align}$$Y ahora la particular que como es un coseno usando coeficientes indeterminados debe tener la forma Acos(4t)+Bsin(4t)
$$\begin{align}&x''+6x'+10x=25 \cos (4t)\\&(-16A \cos(4t)-16B \sin(4t))+6(-4A \sin(4t)+4B \cos(4t))+10(A \cos(4t)+B \sin(4t))=25 \cos(4t)\\&-16A \cos(4t)-16B \sin(4t)-24A \sin(4t)+24B \cos(4t)+10A \cos(4t)+10B \sin(4t)=25 \cos(4t)\\&(-16A+24B +10A)\cos(4t)+(-16B-24A+10B)\sin (4t)=25 \cos(4t)\\&(-6A+24B)\cos(4t)+(-6B-24A)\sin(4t)=25 \cos(4t)\\&-6A+24B=25\\&-6B-24A=0\\&\\&A=\frac{-25}{102}\\&B=\frac{50}{51}\\&y_p=\frac{-25}{102} \cos (4t)+\frac{50}{51} \sin(4t)\\&\end{align}$$Y la solucion es la suma de la general con la particular
$$\begin{align}&y=C_1e^{-3t}\cos(t)+C_2e^{-3t}\sin(t)+\frac{-25}{102} \cos (4t)+\frac{50}{51} \sin(4t)\end{align}$$Haciendo t=0 la posicion es 1/2 y la velocidad 0 ya que aun no se ha movido y està en reposo
$$\begin{align}&y(t)=C_1e^{-3t}\cos(t)+C_2e^{-3t}\sin(t)+\frac{-25}{102} \cos (4t)+\frac{50}{51} \sin(4t)\\&\frac{1}{2}=C_1+\frac{-25}{102}\\&C_1=\frac{38}{51}\\&\\&y=e^{-3t}(C_1\cos(t)+C_2\sin(t))+\frac{-25}{102} \cos (4t)+\frac{50}{51} \sin(4t)\\&y'(t)=-3e^{-3t}(C_1\cos(t)+C_2\sin(t))+e^{-3t}(-C_1 \sin(4t)+C_2 \cos(t))+\frac{50}{51}\sin(4t)+\frac{200}{51} \cos(4t)\\&y'(0)=-3(C_1)+(C_2 )+\frac{200}{51} \\&0=-3 \frac{38}{51}+\frac{200}{51} +C_2\\&C_2=-\frac{86}{51}\\&\\&y(t)=\frac{38}{51}e^{-3t}\cos(t)-\frac{86}{51}e^{-3t}\sin(t)+\frac{-25}{102} \cos (4t)+\frac{50}{51} \sin(4t)\\&y(t))=e^{-3t}(\frac{38}{51}\cos(t)-\frac{86}{51}\sin(t))-\frac{25}{102} \cos (4t)+\frac{50}{51} \sin(4t)\\&\end{align}$$
¡Gracias!
$$\begin{align}&1. .Solución Ecuaciones Diferenciales por series de potencia.\\&\\& y''+y=0\\&\\&2. Trasformada de Laplace\\&L{e^kt }\\&\\&3. Solución Ecuaciones Diferenciales con trasformada de Laplace.\\&\\&4 dy/dt+ y=te^(-t);y(0)=-1\\&\\&\end{align}$$. Gracias
Disculpa la tardanza, probablemente ya no necesites la respuesta pero la pongo de todas formas
$$\begin{align}&y=\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} \hspace{0.25in}y'\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}{x^{n - 1}}} \hspace{0.25in}y''\left( x \right) = \sum\limits_{n = 2}^\infty {n\left( {n - 1} \right){a_n}{x^{n - 2}}}\\&\\&\text{Sustituyendo las series en la ecuacion}\\&\\&\sum\limits_{n = 2}^\infty {n\left( {n - 1} \right){a_n}{x^{n - 2}}}+\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}}=0\\&\text{Queremos que la primera serie empiece en n=0 para poder unirlas, hacemos i=n-2,}\\&\text{al final como no importa la letra que se use,cambiamos las i por n}\\&\\&\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right){a_{n + 2}}{x^n}} + \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} = 0\\&\\&\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left[ {\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right){a_{n + 2}} + {a_n}} \right]{x^n}} = 0\\&\text{Si queremos que la serie sea cero, los coeficientes deben ser cero}\\&\\&\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right){a_{n + 2}} + {a_n} = 0\\&Despejando\\&a_{n+2}=\frac{-a_n}{(n+2)(n+1)}\\&n=0\\&a_2=\frac{-a_0}{2.1}\\&n=1\\&a_3=\frac{-a_1}{3.2}\\&n=2\\&a_4=\frac{-a_2}{4.3}=\frac{a_0}{4.3.2.1}\\&n=3\\&a_5=\frac{-a_3}{5.4}=\frac{a_1}{5.4.3.2}\\&\text{Puedes seguir viendo los elementos pero te daras cuenta que si separas los terminos imapres de los pares obtienes dos series de la forma}\\&{a_{2k}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}{a_0}}}{{\left( {2k} \right)!}}\\&{a_{2k + 1}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}{a_1}}}{{\left( {2k + 1} \right)!}}\\&\text{Sustituyendo las series en y nos queda}\\&y=\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}}\\&y\left( x \right) = {a_0}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{2k}}}}{{\left( {2k} \right)!}}} + {a_1}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{2k + 1}}}}{{\left( {2k + 1} \right)!}}} \\&\text{Fijate que las potencias pares de x van a estar con los coeficientes pares, lo mismo pero con los coeficientes impares}\\&\text{as series que vemos son las del seno y coseno}\\&y(x)=C_1 \cos x+C_2 \sin x\end{align}$$$$\begin{align}&\text{la transformada de una funcion consiste en resolver la siguiente integral}\\&\mathcal{L}\left\{ {{f(t)}} \right\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\&\mathcal{L}\left\{ {{{\ {e}}^{k\,t}}} \right\}= \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{{{\bf{e}}^{ - s\,t}}{{\bf{e}}^{k\,t}}\,dt}} = \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{{{\bf{e}}^{\left( {k - s} \right)t}}\,dt}}=\frac{1}{k-s}e^{(k-s)t}\bigg]_{0}^{\infty}=\\&\text{asumiendo que s>k}\\&\frac{1}{s-k}\end{align}$$$$\begin{align}&4y'+y=te^{-t}\\&4sY(s)-4y(0)+Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2}\\&4sY(s)+4+Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2}\\&Y(s)(4s+1)=\frac{1-4(s+1)^2}{(s+1)^2}\\&Y(s)=\frac{1-4(s+1)^2}{(s+1)^2(4s+1)}\\&\\&\text{Haciendo fracciones parciales}\\&Y(s)=-\frac{20}{9\left(4s+1\right)}-\frac{4}{9\left(s+1\right)}-\frac{1}{3\left(s+1\right)^2}\\&Y(s)=\frac{-5}{9}\frac{1}{s+\frac{1}{4}}-\frac{4}{9}\frac{1}{s+1}-\frac{1}{3}\frac{1}{(s+1)^2}\\&y(t)=\frac{-5}{9}e^{-\frac{1}{4}t}-\frac{4}{9}e^{-t}-\frac{1}{3}te^{-t}\end{align}$$
