Como encontrar el valor de K en este ejercicio

Necesito encontrar K para que sea un trinomio cuadrado perfecto

$$\begin{align}&kx^2+8 \sqrt(k+9)+25\end{align}$$
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Manuel, eso nunca va a ser un trinomio, porque si tenés

$$\begin{align}&(x+a)^2=x^2+2xa+a^2\end{align}$$

Tenés el término cuadrático para x, pero ni en el segundo ni en el tercer término que pones está la variable x, por lo que en realidad cuando a k le des un valor determinado, el segundo y el tercer término los vas a poder sumar

Salu2

$$\begin{align}&kx^2+8 \sqrt(k+9)x + 25\end{align}$$

Mil perdones, me equivoque en realidad el problema es ese.
Al principio pensé en igualar a 0 la raíz pero no estoy seguro si es el procedimiento adecuado.

Como anticipé, para que sea un binomio cuadrado tiene que ser de la forma

$$\begin{align}&(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\&\text{En general: }\\&(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2\\&\text{El término que no tiene x es 25, así que podemos decir que b=5}\\&\text{O sea la expresión es:}\\&(ax+5)^2 = a^2x^2+10ax+25\\&O \ sea \\&k = a^2\\&8 \sqrt{k+9} = 10a \to a = \frac{4}5 \sqrt{k+9}\\&\text{Reemplazo en la primera}\\&k = (\frac{4}5 \sqrt{k+9})^2\\&k = \frac{16}{25}(k+9)\\&k - \frac{16}{25}k = \frac{144}{25}\\&\frac{9}{25}k = \frac{144}{25}\\&k = 16\\&\text{Por lo tanto la expresión es}\\&16x^2 + 8 \sqrt{144}x + 25 = \\&16x^2 + 96x + 25 \end{align}$$

Salu2

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