Evaluar la siguiente integral impropia y graficar en Geogebra para determinar si convergen o divergen

Ayuda con ejercicio de calculo integral con procedimiento y solución

Bendiciones

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1

No hace falta graficar para ver que si tomamos límite para x->infinito, tiende a 0, por lo que converge.

Reescribo:  ∫ (de 0 a 3) (x-1)^(-2/3) * dx; 

Para hallar la indefinida hago CDV:  u=x-1;  du=dx; 

∫ u^(-2/3) * du;  integro:

3* u^(1/3)  + C;  devuelvo variable:

3*(x-1)^(1/3) + C;  

Para x=3:  3* 2^(1/3);  

Para x=0:  3* (-1)^(1/3);  resto:

3* [ 2^(1/3) + 1];  

Resultado:  6.7797 unidades^2

También podríamos haber hecho así desde:  Para hallar la indefinida hago CDV:  u=x-1;  du=dx; 

Redefino los límites:  x=0;  u= (-1).   x=3;  u=2

∫ (de (-1) a 2) u^(-2/3) * du;  integro:

3*u^(1/3) + C;

Para u=2:  3* 2^(1/3);

Para u=(-1) 3* (-1)^(1/3);  resto....etc;  llegando al mismo resultado.

Puedes hallar la gráfica de tu función (y ver que converge a 0) en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+y%3D(x-1)%5E(-2%2F3) 

¡Gracias! 

Norberto Pesce muchas gracias profesor por su ayuda pero puede ayudarme a complementar el ejercicio con estas indicaciones que me hicieron es muy importante Gracias 

No tomé en cuenta que en x=1 tiende a infinito, por ambos lados, pero no varía el resultado final (observa que para el lado izquierdo de x=1 el límite tendiendo a 1 suma, y para el lado derecho, resta el mismo valor). Igualmente, lo correcto es hacerlo como lo has planteado.

Debo dividir en dos partes al intervalo [0; 3]:

lím x->1 ∫ (x-1)^(-2/3) - ∫ (para x=0) (x-1)^(-2/3) + 

∫ (parax=3) (x-1)^(-2/3) - lím x->1 ∫ (x-1)^(-2/3);

La indefinida vale 3(x-1)^(1/3);  sustituyo en todas las anteriores:

lím x->1 3(1-1)^1/3 - 3(0-1)^(1/3) + 3(3-1)^(1/3) - lím x->1 3(1-1)^(1/3);

0 - (-3) + 3*2^(1/3) - 0;  

3* [1 + 2^(1/3)].

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