Relación de la función hiperbólica coshˉ ¹x con ln
¿cómo se llama la función y = coshˉ ¹x?❶ ¿Es su relación con ln la siguiente?:
y = coshˉ ¹x = ln (x + √ (x² – 1)). En caso afirmativo, ¿por qué no |x + √ (x² – 1)| en vez de (x + √ (x² – 1))? ¿Es cierto que en este logaritmo 1 ≤ x < + ∞? Respondan, si es posible, con brevedad, no necesito explicaciones sobre hiperbólicas, etc.; sean escuetos y gracias por adelantado.
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❶ Entendemos por y = coshˉ ¹x lo siguiente: x = cosh y. Es decir, la inversa de esta última.
1 Respuesta
x= cosh y= [e^y + e^(-y)] / 2;
2x = e^y + (1/e^y);
2x = (e^2y + 1) / e^y;
2xe^y = e^2y + 1; CDV: u=e^y;
0 = u^2 - 2xu +1; Baskara:
[-2x+-√(4x^2 - 4)] / 2; o: u=-x+-√(x^2-1); devuelvo variable:
e^y = -x + √(x^2-1)
cosh^-1 x = y =ln|-x+-√(x^2-1)|;
Si sólo estaríamos trabajando en los reales tenemos la limitación: para todo x [-1>x>1]; o: R =/= (-1; 1), y debemos poner: ln|....|;
Si trabajamos con complejos, no hay limitaciones y sólo escribimos:
cosh^-1 x = y =ln [-x+-√(x^2-1)];
Esta función se llama Argumento Coseno hiperbólico, aunque también lo podrás encontrar (menos veces) como Arco Coseno hiperbólico.
Hay un error en mi resolución (disculpas y corrijo):
0 = u^2 - 2xu +1; Baskara:
[2x+-√(4x^2 - 4)] / 2; o: u=x+-√(x^2-1); devuelvo variable:
e^y = x + √(x^2-1)
cosh^-1 x = y =ln|x+-√(x^2-1)|;
Si sólo estaríamos trabajando en los reales tenemos la limitación: para todo x [-1>x>1]; o: R =/= (-1; 1), y debemos poner: ln|....|;
Si trabajamos con complejos, no hay limitaciones y sólo escribimos:
cosh^-1 x = y =ln [x+-√(x^2-1)];
¿Es cierto que en este logaritmo 1 ≤ x < + ∞?
Sí, es verdad si trabajamos con Reales únicamente, ya que tenemos que tener en cuenta dos cosas:
x^2-1 >=0; (por la raíz par) con lo que quedaría: [-1>x>1];
Pero además: x+-√(x^2-1) >0; por el ln; situación que no se da con valores de x <= (-1)
