¿Es correcto escribir ∫ cos x sin x dx = (-1/4)·cos2x?
He resuelto la integral ∫cosxsinxdx de dos modos, pero no me cuadra. Primero mostraré el primer modo, luego el segundo, y finalmente expondré mi duda (Nota: omito escribir la constante de integración).
1er. Modo) ∫cosxsinx dx ; t = sin x ; dt = cos x dx ; cos x = dt/dx ;
. .dt
∫ ------ · t dx = ∫ t dt = (1/2)·t^2 ; ∫sin x cos x dx = (1/2)·(sin x)^2
. .dx
2.º modo) ∫cosxsinx dx = (1/2)·∫2cosxsinx dx = (1/2)·∫sin(2x) dx = (1/2)·(--1/2)·cos(2x) = (--1/4)·cos(2x)
Mi duda concreta: ¿Cómo es que, si trato de hacer una comprobación sustituyendo por ejemplo por x = 17º, no me coinciden?
Por un lado,
(1/2)·(sin 17)^2 = (1/2)·0.292371704^2 = (1/2)·0.085481213 = 0.042740606
Por otra parte,
(--1/4)·cos 34 = (--1/4)·0.829037572 = -- 0.207259393
El caso es que, tanto si derivamos (1/2)·(sin x)^2 como si (--1/4)·cos(2x), nos da lo mismo, así que no entiendo.
2 Respuestas
:)
En resumidas cuentas: tus "comprobaciones" siempre van a diferir en 0.25.
Saludos, Mario (Cacho) R.
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Guim, lo que estás planteando resume en preguntarse si es correcto que
1/2 sen^2(x) = (-1/4) cos(2x)
Veamos...
$$\begin{align}&\frac{1}{2}sen^2(x) =^? -\frac{1}{4}\cos(2x)....(*)\\&\cos(2x) = \cos^2(x) - sen^2(x)\\&Retomando \ (*)\\& -\frac{1}{4}\cos(2x) = -\frac{1}{4} (\cos^2(x)-sen^2(x)) ...(**)\\&\cos^2(x) = 1-sen^2(x)\\&Retomando \ (**)\\&-\frac{1}{4} (\cos^2(x)-sen^2(x)) = -\frac{1}{4} (1-2 sen^2(x)) = -\frac{1}{4}+\frac{1}{2}sen^2(x)\\&\text{Claramente es distinto al inicio de la página por lo que NO vale la igualdad}\end{align}$$Lo que queda ver es donde está el error, pero asumo que en la resolución de alguna de las integrales
Salu2