La diferencia seria la siguiente.
Y ( x , t)= Asen(wt+kx)
Es la llamada Ecuacion de Onda. Representa el perfil instantaneo de una Onda Armonica (porque tiene la funcion seno) como funcion del tiempo. Seria como sacarle una foto a la onda que se propaga en una direccion determinada. Por eso es funcion del tiempo y del espacio que recorre.
Y (t)=Asen(wt+(delta))
Es la Ecuacion clasica de la onda de amplitud A en funcion del tiempo o sea la elongacion desde un origen determinado de tiempos. Delta representa la fase inicial del movimiento determinando la amplitud inicial del desplazamiento.