Si x es real, sea B(x) el conjunto de todos los números b^t, donde t es racional y t≤x. Demuestre que B^r=sup B(r)

Propiedades de los números reales

Sea b>1 fijo

Si x es real, sea B(x) el conjunto de todos los números b^t, donde t es racional y t≤x. Demuestre que B^r=sup B(r)

Cuando r es racional. Por lo tanto tiene sentido definir B^x=sup B(x) para todo x real.
Nota: Supongamos t; r∈Q, con t ≤ r. Podemos escribir r=m/n y t=p/n, con n>0 y p≤m enteros. Demuestra que b^p≤b^m. Si se tuviera que (b^p)^(1/n)>(b^m)^(1/n) entonces b^p>b^m, una contradiccion, por lo tanto b^t≤b^r. Concluye que b^r es cota superior de B(r). Dado que b^r∈B(r), concluimos que b^r=supB(r).]