¿Aplicación de las integradas en física?
Una pelota de tenis se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 54 pies con
una velocidad inicial de 8 pies/seg. ¿Cuál es la velocidad de impacto si la pelota golpea en
la cabeza a una persona de 6 pies de estatura?
Considerar: 𝑎(𝑡) = −32 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔^2, s (0)= 54 pies y 𝑣(0) = −8 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔 (la pelota se lanza
hacia abajo).
2 Respuestas
NUestro sistema de coordenadas es el eje POR coincide con el suelo y el eje Y nace del suelo hacia arriba: trabajaremos con vectores
a=32 (-j) fts^2 Vo=8(-j) ft/s S(o)=54(+j) ft
S(t)=So+Vo*t+(1/2)a*t^2
para t=0 tenemos S(o)=So+Vo(0)+(1/2)a*(0)^2 o sea S(o)=So=54ft, nuestra ecuación nos queda:
S(t)=54(+j)+8*t(-j)+(1/2)(32)*t^2(-j) ft
S(t) = (54 - 8*t - 16*t^2)(+j) ft ................(1)
Cuando la pelota golpea la cabeza de la persona S(t)=6(+j) ft, reemplazando en (1)
6(+j) = (54 - 8*t - 16*t^2)(+j), entonces:
6 = 54 - 8*t - 16*t^2
16*t^2+8*t-48=0 simplificando: 2*t^2+t-6=0 resolviendo t=1.5s
Ecuación de la velocidad:
Vf=Vo + a*t entonces: Vf=8(-j) + 32*t(-j) reemplazando t=1.5s:
Vf = 8(-j)+32*1.5(-j)
Vf = 8(-j) + 48(-j)
Vf = 56(-j) ft/s el vector (-j) indica que la velocidad va hacia abajo tal como se esperaba
|Vf|= 56 ft/s
eo=54ft; e(t)=6ft;
a= (-32)ft/s^2; Segundos, por convención, se abrevia: "s".
Vo= (-8) ft/s.
Integro da/dt, que me dará V(t) = at + Vo;
Si vuelvo a integrar, ahora: dV/dt, obtengo e(t).
e(t) = (1/2)at^2 + Vot + eo; doy valores para obtener luego "t".
6ft = (1/2)*(-32)(ft/s^2)*t^2 + (-8)(ft/s)*t + 54 ft;
0 = (-16) t^2 -8 t + 48; 0=-2t^2 - t + 6; al simplificar por 8; Baskara:
t=[1+-√(1+48)]/(-4); t= (1+-7)/(-4); t=(-2) (no válido por negativo) y t=0.75 s;
Reemplazo en: V(t) = at + Vo;
V(t) = (-32)(ft/s^2) * 0.75s + (-8) (ft/s)
#### V(t) = (-32) (ft/s)
La respuesta de Carlos Antonio es la correcta. Disculpas por 3/4 en vez de 3/2.
Corrijiendo desde el error: t=1.5s; reemplazo en: V(t) = at + Vo;
V(t) = at + Vo;
V(1.5) = -32(ft/s^2)*1.5s - 8 (ft/s);
V(1.5s) = (-48 -8) (ft/s); -56 (ft/s)
Gracias Antonio por tu comentario. Podemos resumir la interpretación del problema simplemente como un MRUV a lo largo de e=48ft (54-6); con a=32 ft/s^2 y Vo=8ft/s;A partir de la fórmula del espacio recorrido obtendremos t:48ft = (1/2)*32*t^2 + 8*t; igualo a 0: 0 = 16t^2 + 8t - 48; simplfico por 8:0=2t^2+t-6; Baskara:[-1+-√)1+48)]/4; (-1+-7)/4; No podemos tomar el resultado negativo, por lo que sólo queda la posibilidad de t=(3/4) s - Norberto Pesce
Comentario borrado por el autor - Carlos Antonio Gálvez Reyes
2t^2+t-6 = 0 t=3/2s y no t=(3/4)s justo alli está el error - Carlos Antonio Gálvez Reyes
Tienes razón: 3/2. Gracias. - Norberto Pesce
gracias a ti por tu paciencia - Carlos Antonio Gálvez Reyes