Como identificamos y resolvemos una integral indefinida -definida

$$\begin{align}&∫▒〖x^3 (x^4+3)^2 〗 dx\\&\\&Esta es una integral por sustitución, fíjate bien que lo que está interno al derivar x^4 da como resultado 〖4x〗^3 y esto lo puedo simplificar. Miremos entonces el procedimiento.\\&\\&Lo que está interno lo trabajaré como u, entonces\\&\\&∫▒〖x^3 (x^4+3)^2 〗 dx\\&\\&u=x^4+3\\&\\&du/dx=〖4x〗^3\\&\\&du=〖4x〗^3 dx\\&\\&Despejando dx:\\&\\&dx=du/〖4x〗^3 \\&\\&Finalmente, convirtiendo todo a termino de u quedaría, OJO (ya no en términos de x). Vale!!!\\&\\&∫▒〖x^3*(u)^2 〗*du/〖4x〗^3 \\&\\&Simplificando los x3 quedaría:\\&\\&∫▒(u)^2 *du/4\\&\\&Sacando la constante:\\&\\&1/4 ∫▒u^2  du\\&\\&Y aplicando la propiedad de la integral de potencia:\\&\\&∫▒x^n  dx=x^(n+1)/(n+1)+c\\&\\&Nos quedaría así:\\&\\&1/4 (u^(2+1)/(2+1))+c\\&\\&1/4 (u^3/3)+c\\&\\&1/12 u^3+c\\&\\&y sustituyendo u en lo que teníamos al principio, entonces\\&\\&1/12 (x^4+3)^3+c\\&\\&O también lo puedes dejar así:\\&\\&(x^4+3)^3/12+c\\&\\&\end{align}$$