Como se saca la gráfica de una función
f(x) = (x²+2x)/(2x²+3x–2) 2.- Realice los cálculos necesarios para definir si esta función es continua o discontinua y realice la gráfica correspondiente. Es importante que el desarrollo sea lo más claro posible, si requieren hacer los cálculos en su cuaderno y después escanearlos no hay problema.
F(x){2x + 1 cuando x<1
x +2 cuando 1< x <3
1/x-3 cuando x > 3
f(x) = (x²+2x)/(2x²+3x–2);
Las únicas limitaciones que tiene en el dominio son los valores de x que anulen al denominador, que encuentro con Baskara:
[-3+-√(9+16)] / 4; (-3+-5)/4; x=(-2); x=1/2.
El dominio de esta función es: Para todo x=/= (-2) y (1/2);
Si factorizamos a la función y simplificamos, obtendremos un infinitésimo equivalente (cuidado, que no es la misma función).
f(x) = x(x+2) / {2(x+2)[x-(1/2)]};
Vemos que si x=(-2) queda una indefinición 0/0, porque tanto numerador como denominador quedan multiplicados por 0 por el paréntesis (x+2), y sería: (-2) + 2=0.
En el caso de x=1/2, sólo queda el denominador dividido por 0, porque se hace 0 [x-(1/2)], quedando por izquierda el límite tendiendo a (-∞) y por derecha a (+∞), es decir que allí hay una ASÍNTOTA vertical.
Si simplificamos la expresión factorizada:
f(x) = x/ {2[x-(1/2)]}; o:
f(x) = x / (2x-1);
Observamos que en x=1/2 hay una asíntota vertical, pero no así en x=(-2), que sólo es una indefinición en la ecuación original (se debe dibujar un "agujero" en (-2; 2/5), que no sale dibujado si ploteas en Wolfram, pero sí en Derive, por ejemplo).
Veamos ahora si hay asíntotas horizontales, haciendo los límites tendientes a + y - ∞:
f(x) = (x²+2x)/(2x²+3x–2); si dividimos a numerador y denominador por x^2, queda:
f(x) = [1+ (2/x)] / [2 + (3/x) - (2/x^2)], que al tomar límite para x-> tanto a + como a - ∞, todos los términos divididos por x se hacen 0, quedando:
Lím x->+-∞ = 1/2; que es nuestra asíntota horizontal.
Para dibujarla, podemos hacer los cálculos de manera más sencilla utilizando el infinitésimo equivalente: f(x) = x / (2x-1), con la salvedad de dibujar el "agujero" en (-2; 2/5).
La función es una Hipérbola, por lo que no tiene máximos ni mínimos, ni puntos de inflexión.
Puedes ver tu gráfica (agrégale el "agujero") en:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+f(x)+%3D+(x%C2%B2%2B2x)%2F(2x%C2%B2%2B3x%E2%80%932)
Veo que tienes una segunda parte de la pregunta, y aunque no lo indicas, supongo que deseas saber continuidad/discontinuidad de esta función a trozos:
F(x){2x + 1 cuando x<1
x +2 cuando 1< x <3
1/x-3 cuando x > 3
Hallamos x=1 para la primera y segunda partes de tu función:
Para y=2x+1; y=3; Para y=x+2; y=3. La función es continua en el entorno de x=1.
Hallamos x=3 para la segunda y tercera partes:
Para y=x+2; y=5; Para y=1/(x-3); y tiende a +∞ (porque dice: x>3, el resultado es positivo).
No es continua en el entorno de x=3.
