Media de la distribución de la cantidad de grupos de igual número de elementos repetidos en una distribución binómica B(n,0.5)

Tenemos una binónica (binomial para los anglosajones), por ejemplo con ceros y unos que es lo más sencillo y anotamos las ocurrencias en orden. En esta B(16, 0.5) salió esto:

0010110111010011

Separamos los grupos de digitos seguidos iguales

00 | 1 | 0 | 11 | 0 | 111 | 0 | 1 | 00 | 11

Se han formado 10 grupos

5 de un elemento

4 de dos elementos

1 de tres elementos

Lo que nos interesa es calcular la media que tienen los grupos de un elemento, los de dos, los de tres, etc, en función del número total de elementos, 16 en este caso.

Para ello habría que probar todos los números posibles binarios de 16 cifras poniendo siempre los ceros a la izquierda que hagan falta, sumar los grupos de cada clase y dividir entre 2^16. Esa tarea la podría hacer un ordenador pero sin pasarse, no creo que pudiera con más de 64 elementos por ejemplo. Pero se puede calcular a mano, yo lo he hecho y comprobado que esa esperanza, la del numero de grupos de i elementos en una B(n, 0.5) es:

$$\begin{align}&E\bigg[S(i,n)\bigg]=\frac{n+2-i}{2^{i+1}} si\; 1\le i\lt n;\qquad \frac{1}{2^{n-1}} si\; i=n\end{align}$$