Ecuaciones de la recta perpendicular a dos rectas
Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (7,-2,9) y es perpendicular a cada una de las rectas
$$\begin{align}&\frac{x-2}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z+3}{3}\end{align}$$y
$$\begin{align}&x = -4 + t\\&y = 2 + 5t\\&z = -2t\end{align}$$
2 Respuestas
Debemos hallar un vector perpendicular a ambas rectas dadas, hallando el producto vectorial entre ellas. Finalmente, con ese nuevo vector y el punto solicitado (7; -2; 9), genero la nueva recta.
El vector de la primera recta es: <2; -2; 3>;
y el de la segunda: <1; 5; -2>
Generamos la matriz 3x3;
i; j; k
2; -2; 3
1; 5; -2
Producto vectorial: (4i+3j+10k) - (15i-4j-2k) = -11i+7j+12k; que es nuestro nuevo vector, perpendicular a ambas rectas dadas.
Para que pase por el punto (7; -2; 9) hacemos:
(x; y; z) = (7; -2; 9) + t<-11; 7; 12>; escrita en la forma punto-vector.
(x-7)/(-11) = (y+2)/7 = (z-9)/12; escrita de manera segmentaria; o:
x= 7 - 11t
y= -2 +7t
z= 9 +12t
Yo diría que es irresoluble y me explico.
Las ecuaciones de la recta perpendicular a las dos rectas dadas son:
$$\begin{align}&45x+57y+8x-66=0\\&37x+5y+31z+138=0\end{align}$$Pero esta recta no pasa por el punto (7,-2,9)
Pues sí, tienes toda la razón. Yo me he liado a sacar la ecuación de dos planos cuya interesección era la recta que se pedía. Pero claramente lo he hecho mal. Gracias por ayudarme a desempolvar las matemáticas olvidadas. - Angel Martínez Gutiérrez
Las buenas intenciones son valiosas; sólo el que hace nada nunca se equivocará. Gracias por tu comentario. - Norberto Pesce