Alguna persona que sepa sobre volumen de integrales?

Te respondí la primera parte en otro foro (gracias por tu Mejor Respuesta); de todas maneras lo repetiré aquí, junto con los otros dos.

Primer problema: Puedes escribirlo de esta forma:

y=√(x+2); 
y=√(6-x); girando alrededor de eje x: 
La primera es una parábola horizontal que abre a la derecha (x positiva), definida para todo x>=2; y que tiene su 0 (o corte al eje x en x=(-2).
La segunda, también parábola horizontal pero que abre a la izquierda (x negativa), definida para todo x<=6, y que tiene su 0 en x=6.
El cruce de ambas funciones se hace en x=2, porque:
√(x+2) = √(6-x); 
x+2 = 6-x; 
2x=4; 
x=2 
Lo que nos genera los dos intervalos de las funciones a girar: 
[-2; 2] para √(x+2); 
[2; 6] para √(6-x) 
Razonemos ahora la fórmula del cálculo del sólido de revolución: 
Si tomamos una "feta" vertical muy fina (diferencial) de este sólido, esta es un cilindro, y el volumen de un cilindro se calcula como:
V=π*r^2*h; pero aquí tenemos: 
dV=Volumen diferencial; 
r=y; 
h=dx (el espesor de la feta diferencial): reemplazo: 
dV=π*y^2*dx; y si integro ambos lados, me quedará el volumen entre ambos extremos de la integral: 
∫ (de -2 a 2) π [√(x+2)]^2 dx + ∫ (de 2 a 6) π [√(6-x)]^2 * dx; o: 
∫ (de -2 a 2) π*(x+2) dx + ∫ (de 2 a 6) π*(6-x) * dx; 
Integro: Para la izquierda: Indefinida: π [ (1/2)x^2 + 2x]: 
Para x=2: π* (2+4) 
Para x=(-2): π* (2 - 4); resto: 8π; 
Para la derecha: Indefinida: π [6x - (1/2)x^2]; 
Para x=6: π* (36-18); 18π 
Para x=2: π* (12-2): 10π; resto: 8π 
Sumo ambos volúmenes: (8+8)π; 
16π Unidades^3; que es tu primera respuesta.

Segundo problema: calcula el volumen de la región acotada por las curvas x=y²-2 y x=6-y² al girarla alrededor de la recta y=2 

Igual que el primer problema, se intersectan en (2; 2) y se generan los dos intervalos:

[-2; 2) para x=y^2-2;  y (2; 6] para x=6-y^2.
Conviene utilizar método de los Cilindros diferenciales (o casquillos o “de la cebolla”).

Razonémoslo así, a partir del volumen de un cilindro hueco (con un R: radio exterioir y r: radio interior):

V= π R^2 h – πr^2h;  Factorizando:  V= πh (R^2 – r^2);

Si factorizamos la diferencia de cuadrados:  V=πh (R-r) (R+r).

Y nuestro cilindro hueco, al tener un espesor de pared “diferencial” será:

dV = πh (R-r) (R+r).

Pero vemos que: 

h=f(y);

(R-r)=dy;

Además:  el “Radio promedio” puede ser escrito como:  (R+r)/2;  que correspondería al valor de y, pero en este caso, al girar sobre y=2 en vez de y=0, este Radio promedio equivale a:  (y-2);  (se resta porque está el eje a la derecha de la función a girar);  en definitiva podemos escribir:  (y-2) = (R+r)/2;  o:  2(y-2) = R+r.

Reemplazamos en la fórmula de nuestro Volumen diferencial:

dV = π*f(y)* 2(y-2)*dy;  o:  dV = 2π* (y-2)f(y)*dy;

Para obtener el Volumen de revolución, sólo debemos integrar nuestras dos funciones entre los correspondientes límites (tener en cuenta que los límites son respecto a y, no a x):

V = 2 π * [ ∫ (de 0 a 2) (y-2)(y^2 -2) dy + ∫ (de 2 a 0) (y-2)(6-y^2)*dy ];  o:

V = 2 π * [ ∫ (de 0 a 2) (y^3-2y^2-2y+4)*dy + ∫ (de 2 a 0) (-y^3+2y^2+6y-12)*dy ];  

Integro:  (no olvidando multiplicar todo por 2 π, que es constante):

Para la primera integral (de 0 a 2):  (1/4)y^4 – (2/3)y^3 – y^2 + 4 y; 

Para y=2:  8/3;  Para y=0:  0;  resto:  8/3;  y queda para la primera integral:

(16/3) π

Para la segunda integral (de 2 a 0):  (-1/4)y^4 + (2/3)y^3 +3y^2-12y;

Para y=2:  (-32/3);  Paray=0:  resto:  0 – (-32/3) = 32/3:  que multiplicado a 2 π:

(64/3) π;

Sumamos ambos volúmenes y queda:  [(16/3) + (64/3)] π =

(80/3) π unidades^3, que es tu segunda respuesta.

Tercer problema. Obtén el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y y la región limitada por la gráfica de y=3x-x³, el eje X y la recta x=1

Por casquillos podemos obtener el volumen del sólido entre x=1 al máximo valor de f(x) que lo tendremos en x=3/2.

Este máximo sale de:  y=3x – x^2;

y’ = 3 -2x;  igualo a 0:  2x=3;  x=2/3;  que al ser una parábola invertida (coeficiente de x^2 negativo), el vértice es un máximo.  Queda en:  [ (2/3) ; (9/4) ].

Sabiendo ya la deducción de la fórmula (según el ejercicio anterior), la aplicamos:

V (de 1 a 3/2) = 2 π * ∫ (de 1 a 3/2) x*(3x-x^2)* dx;

V (de 1 a 3/2) = 2 π * ∫ (de 1 a 3/2)  (-x^3 + 3x^2)dx; integro:

2 π * [ (-1/4)x^4 – x^3]; 

Para x=3/2:  (-81/64) – (27/8);  (-297/64)

Para x=1:  (-5/4);  resto:  217/64;

A esto lo debemos multiplicar por 2 π, quedando:

Tu tercera respuesta: (217/32)π unidades^3; aproximadamente 21.3 u^3.