Contrato en otra empresa al día siguiente

Acabo en mi trabajo el día uno y me quieren contratar el día dos. ¿Eso se podría hacer? ¿Además en la nueva empresa necesitan que este dada de alta como demandante de empleo puedo ir a primera hora a la oficina de empleo para darme de alta y después que me den de alta en la seguridad social ese mismo día?