Derecho sobre cobro de antigüedad

Soy laboral indefinido no fijo en una administración local, llevo trabajando desde 2006 de forma continuada, sin ningún tipo de contrato escrito y no tenemos convenio ya que es un ayuntamiento muy pequeño 120 habitantes, solamente estamos el secretario y yo.

Me dicen que no me pueden pagar el plus de antigüedad porque no tenemos convenio y en mi contrato al no tener no especifica nada. Yo creo que si tengo derecho a cobrar la antigüedad pues en muchas partes he visto que el cobro de antigüedad es un derecho irrenunciable pero no he visto que legalmente aparezca en ningún sitio especificado.

Me podrían informar si tengo derecho al cobro de antigüedad.