La función compuesta con exponentes
¿Cómo puedo desarrollar para hallar g o f?
$$\begin{align}&h(x)=g(f(x))=? \ \ \ donde \ \ f(x)= log_e\ \ x^2+2 \ \ \ \ \ \ \ and \ \ \ \ \ g(x)=e^x\end{align}$$
2 Respuestas
;)
Hola Gabriel!
h(x)=(gof)(x)=g(f(x))=g(ln (x^2+2))=
e^[ln(x^2+2)]=x^2+2
Saludos
;)
;)
Te lo agradezco mucho Lucas, para llegar a esa respuesta, derivas?
;)
No.
Para obtener la función compuesta g de f de x : g(f(x)) sustituyes la f dentro de la variable x de g
El último paso es una propiedad de la función logarítmica que tiene que ver que f=e^x
y g=lnx son funciones inversas. Dos funciones inversas al componerlas da la identidad:
$$\begin{align}&g(f(x))=ln(e^x)=x\\&f(g(x))=e^{lnx}=x\\&\\&En \ general:\\&a^{log_ax}=x\\&\\&luego \ en \ nuestro \ ejercicio:\\&\\&e^{log_e(x^2+2)}=x^2+2\end{align}$$;)
;)
"Dos funciones inversas al componerlas da la identidad" me pierdo justo ahí, porque yo lo dejaría así como tal
$$\begin{align}&e^{log_e(x^2+2)}\end{align}$$.pero tu resuelves y obtienes
$$\begin{align}&x^2+2\\&\end{align}$$y es en ese paso no entiendo.
;)
Es una propiedad de los logaritmos:
Te cambiaré la base, para que lo entiendas
$$\begin{align}&2^{log_2 8}\end{align}$$Tienes una potencia de base 2
Y un exponente que es un logaritmo en la misma base: 2
Calcula el logaritmo en base 2 de 8:
$$\begin{align}&log_28=3\\&\\&por \ que \ 2^3=8\end{align}$$Ahora elevamos 2 a ese logaritmo:
$$\begin{align}&2^{log_28}=2^3=8\end{align}$$Te acaba quedando el 8 que tenías: la potencia en base 2, deshace lo que hizo el logaritmo en base 2.Son funciones inversas.
Simplemente quédate con el hecho de que si tienes una potencia elevada a un logaritmo de base igual a la de la potencia, te acaba dando el argumento del logaritmo (8).
;)
;)