Determinar funciones crecientes o decrecientes para valores indicados de x

Sabemos si una función es creciente o decreciente en un punto con la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

Si la pendiente es positiva==> crece

Si la pendiente es negativa==>decrece

Como la pendiente de la recta tangente es la derivada ==> con el signo de la derivada conocernos el crecimiento.

f'(x)=[2x (1+x^2)-x^2•2x]/(1+x^2)^2=

2x/(1+x^2)^2

Observa que el denominador está al cuadrado luego siempre es positivo y el signo de la derivada depende del signo del numerador

f'(0)=0 ==> recta tangente horizontal=> ni crece ni decrece(posible extremo relativo o punto de inflexión con tangente horizontal)

f'(-1)<0 ==> decreciente en x=-1

Saludos

;)

Fácil

;)

el procedimiento que haces aquí es: (?) 

1. hallas la pendiente mediante y'=f'(x)=m
2. reemplazas con el valor de la coordenada que nos dan
3. si la pendiente resulta ser negativa: decreciente 
4. si la pendiente resulta ser positiva: creciente
5. si la pendiente es igual a cero: ni crece ni decrece 

después de derivar queda 

$$\begin{align}&f'(x)={2x\over 1+x^4}\\&y \ \  si  \ \  hacemos\ \  f'(-1)....reemplazando\\&f'(-1)={-2\over 1-1}=-2\\&\\&como \ \ -2 <0  \ \ es \ \  decreciente\ \  \  \ en \ \ x=-1\\&asi \ \  te \  \ estoy\ \  entiendo \ \ Lucas, no \ \ se \ \  si \ \ asi  \  (?)\end{align}$$

Si eso es

Pero cuidado con lA operación del denominador:

Ojo que esté error ya te lo he visto antes:

(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

(1+x^2)^2=(1+x^2)(1+x^2)=1+x^2+x^2+x^4=

1+2x^2+x^4

De todos modos para este tipo de problema s es mejor que dejes el denominador factorizando, es decir sin operar (1+x^2)^2

Observa que tienes una expresión (el paréntesis) todo al cuadrado: un cuadrado siempre es positivo, con lo cual el signo de la derivada solo depende del signo del numerador.

;)

Si, siempre se me olvida :(. Muchas gracias por la observación

Lucas, ahorita estoy calculando si crece o decrece en

$$\begin{align}&f(x)=x+{1\over \ x}  \ \ \  para \ \ \  x={1\over2}, \ \ x=2\\&\\&si \ \  opero  \ \  para  \ \ que \ \ \ me  \  quede \  mas \ \  "facil" \\&me queda \\&{x\over1} +{1\over \ x} ={x^2+1\over x}=x+1 \\&y \  \  f'(x)=1 \\&\\&y  \ \ si \ \ derivo \ \ desde  \ \  la \ \  inicial\\&f(x)=x+{1\over \ x} \\&f(x)=x+(x)^{-1}\\&f'(x)=1+(-x)^{-2}\ \ 1\\&f'(x)= 1-{1\over x^2} \\&y \ \  me \ \  pierdo \  :(\\&\end{align}$$