Problema de máximos y mínimos. Encontrar densidad máxima
Entre 0°C y 30°C, el volumen V (en cm^3) de 1 kg de agua a una temperatura T se expresa aproximadamente mediante la fórmula:
V(T)=999,87 - 0,0646*T + 0,0085043*T^2 - 0,0000679*T^3
Encontrar la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima.
Respuesta
1
Como densidad es masa/volumen, y la masa no cambia, tendremos la densidad máxima cuando el volumen sea mínimo. Dicho esto vamos a derivar la función de volumen
$$\begin{align}&V(T) = 999.87 - 0.0646T + 0.0085043T^2-0.0000679T^3\\&V'(T) =- 0.0646 + 0.0170086T-0.0002037T^2\\&V''(T) =0.0170086-0.0004074T\\&V'(T) = 0 \\&- 0.0646 + 0.0170086T-0.0002037T^2=0\\&T_1=3.98861\\&T_2=79.50967\\&V''(3.98861) > 0 \text{ (minimo)}\\&V''(79.50967)<0 \text{ (maximo)}\end{align}$$Por lo tanto el volumen mìnimo se obtiene para T=3.98861
Salu2