Problema de distancia entre rectas

;)
Hola Juan!

Aclarame si la L1 es

$$\begin{align}&y- \frac 3 2=z+ \frac 1 {-2}\\&\\&O \ bien:\\&\frac{y-3} 2= \frac {z+1}{-2}\end{align}$$

Lucas m:

La recta L1 es como la primera es como la primera ecuación.

;)
Hola Juan Flores!

La distancia entre dos rectas se define como la menor de todas las distancias que se pueden calcular entre dos rectas..

Lo primero que hay que hacer es estudiar su posición relativa:

Secantes ==> distancia =0

Coincidentes ===> distancia=0

Paralelas

Se cruzan sin tocarse

Para estudiar la posición relativa de dos rectas se puede hacer de diferentes maneras,

Yo te lo haré a partir de los vectores de dirección:

Para la primera L1, está en implícitas, una manera de obtener el vector es con la solución general del sistema

x=2

2y-3=2z -1   (la he multiplicado por 2)

2y-2z-2=0  ==>y-z-1=0

solución general  

$$\begin{align}&z= \lambda\\&y=\lambda+1\\&x=2\\&\vec v=(0,1,1) \ \ \ \ \ los \ coeficientes \ de \ \lambda\\&P=(2,1,0)\ \ \ \ los\ términos \ independientes\\&\\&L2: \vec{BA}=\vec u=A-B=(1,0,1)\\&\\&\vec v \neq \vec u \ \ \ No \ proporcionales==>No \ paralelos==>\\&\end{align}$$

las rectas o son secantes o se cruzan ya que los vectores tienen diferente dirección al no ser múltiples o proporcionales.

Para ver cual de los dos casos es, también se puede hacer de diferentes maneras. Una es estudiando el rango de los dos vectores de dirección más otro construido desde un punto cualquiera de una recta a la otra AP.

Si el rango de esos tres vectores es 2==> son coplanarios==> son secantes (dosrectassecantes determinan un plano)

Si el rango es 3==> las rectas se cruzan en el espacio sin tocarse

Para ver el rango haremos el determinante de los tres vectores:

$$\begin{align}&\vec{AP}=P-A=(2,1,0)-(2,1,3)=(0,0,-3)\end{align}$$

determinante: (lo escribo como puedo)

|0   1    0|

|1   0    0|   =3 

|1   1   -3|

Como el determinante da diferente de 0, los tres vectores son linealmente independientes y el rango es 3. Luego las dosrectas se cruzan.

Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan hay diferentes métodos:

1. Método del plano paralelo

2. Método del vector variable

3. Método del producto mixto.

Te hago este último:

$$\begin{align}&dist(L1L2)=\frac{Volumen \ paralelepípedo \ determinado\ por \ \vec u,\vec v, \vec{AP}}{Area\ paralelogramo\  \vec u , \vec v}\\&\\&\\&= \frac{\Big[\vec u, \vec v \vec{AP} \Big]}{ \Big| \vec u \times\vec v \Big|}=\\&\\&\Big[\vec u, \vec v \vec{AP} \Big]=determinante \{ \vec u, \vec v, \vec{AP} \}=3\end{align}$$

producto vectorial uxv= determinante

|i     j    k|

|0   1   1|  =  i +j -k =(1,1-1)

|1   0   1|

módulo =|uxv|=

$$\begin{align}&\sqrt{1^2+1^2+1^2}= \sqrt 3\\&\\&distancia= \frac 3 { \sqrt 3}= \sqrt 3 \ \ \ \ unidades\end{align}$$