¿Cómo podria resolver este problema sobre secciones cónicas?

;)
Hola Naysha!

El ángulo entre dos curvas, es el ángulo que forman las rectas tangentes a las curvas en el punto de intersección.

Calcularemos primero los puntos de corte.(Resolviendo el sistema)

Hallaremos las pendientes de las rectas tangentes en esos puntos, lo cual son las derivadas en esos puntos.

Hallaremos el ángulo entre dos rectas con esas pendientes ( fórmula de geometría analítica)

Por la simetría del sistema es de esperar que haya 4 puntos de intersección entre esa circunferencia y esa parábola. Pero en todos el ángulo será igual.

Resolviendo el sistema:

$$\begin{align}&x^2-y^2=a^2\\&\\&x^2+y^2=9a^2\\&\\&las \  sumo\\&\\&2x^2=10a^2\\&x^2=5a^2\\&x=\pm \sqrt 5 \ a\\&y^2=9a^2-x^2=9a^2-5a^2=4a^2\\&\\&y= \pm 2a\\&Puntos \ de \ corte:\\&(\sqrt 5 \ a,2a)\\&(\sqrt 5 \ a,-2a)\\&(-\sqrt 5 \ a,2a)\\&(-\sqrt 5 \ a,-2a)\\&\\&Utilizaré \ el \ primero:(\sqrt 5 \ a,2a)\\&derivando \ impícitamente:\\&2x-2yy'=0 ===> y'= \frac x y ===>m_{tangHiper}=\frac{ \sqrt 5 a}{2a}= \frac{ \sqrt 5} 2\\&\\&2x+2yy'=0 ===>y'= - \frac x y ===>m_{tangCircun}=- \frac{ \sqrt 5 a}{2a}=- \frac{ \sqrt 5} 2\\&\\&\\&Ángulo \ entre \ rectas:\\&\\&tan \alpha= \Bigg | \frac{m_1-m_2}{1+m_1·m_2} \Bigg |=\Bigg| \frac{ \frac {\sqrt 5} 2+\frac {\sqrt 5} 2}{1 -\frac 5 4} \Bigg |=\Bigg |\frac{ \sqrt 5}{- \frac 1 4} \Bigg |=4 \sqrt 5\\&\\&\alpha = arctan(4 \sqrt 5)=83.6206º\\&\end{align}$$

Saludos

;)

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