Discusión de un sistema de ecuaciones según parámetro m.son cuatro ecuaciones y tres incógnitas y un parámetro
mx+y+z=m al cuadrado
x-y+z=1
3x-y-z=1
6x-y+z=3m
1 Respuesta
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¡Hola Juana!
La suma de primera y tercera dice bastante
mx + 3x = m^2 + 1
(m+3)x = m^2 + 1
x = (m^2 + 1) / (m + 3)
Para empezar podemos decir que si m=-3 no hay respuesta, el sistema es incompatible
Y la resta de la segunda a la cuarta dice:
5x = 3m-1
x = (3m - 1) / 5
Como deben ser iguales
$$\begin{align}&\frac {m^2 + 1}{m+3} = \frac{3m-1} 5\\&\\&5m^2+5 = 3m^2+9m-m-3\\&\\&5m^2 + 5 = 3m^2 +8m -3\\&\\&2m^2-8m +8 = 0\\&\\&m^2 - 4m + 4 = 0\\&\\&(m-2)^2=0\\&\\&m-2=0\\&\\&m=2\end{align}$$Luego solo puede haber solución si m=2 pero aun tenemos que comprobarlo
x = (3·2 - 1) / 5 = 5/5 = 1
Y las ecuaciones que quedan son
2·1 + y + z = 4 ===> y+z = 2
1 - y + z = 1 ====> -y + z = 0
Si las sumamos 2z= 2 ==> z=1 ==> y=1
Luego ya tenemos la única respuesta posible, x=y=z=1 vamos a ver si se cumplen las ecuaciones tercera y cuarta
3·1 - 1 - 1 = 1 ==> 1=1
6·1 -1 +1 = 3·2 ==> 6=6
Luego se cumplen.
Asi que solo hay solución si m=2 y es x=y=z=1
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Y eso es todo, saludos.
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Pero debo hacerlo por teorema de Rouche con cálculos de rangos..de matrices normal y ampliada me podría usted ayudar.?
Pues es más sencillo y mejor como lo hice.
Por el teorema de Rouche el sistema tendrá solución si la matriz de coeficientes tiene el mismo rango que la ampliada. La de coeficientes tiene rango 3 ya que tiene tres filas no nulas del todo. Y la ampliada tendrá rango 3 solo si la ultima celda vale 0.
$$\begin{align}&m^2+1-\frac{(m+3)(3m-1)}{5}=0\\&\\&\frac{5m^2+5 -3m^2+m-9m+3}{5}=0\\&\\&2m^2-8m+8=0\\&\\&m^2-4m+4= 0\\&\\&(m-2)^2=0\\&\\&m-2= 0\\&\\&m=2\end{align}$$Luego solo hay solución cuando m=2 y al ser 3 el rango de la matriz de coeficientes y tres las incógnitas es un sistema compatible y la solución es única. La podemos calcular en el último sistema que quedó
5z = 3m-1 = 3·2-1 = 5 ===> z=1
-y+2z=1 ==> -y + 2 = 1 ==> y=1
x-y+z=1 ===> x -1+1=1 ==> x=1
Y eso es todo.
Sa lu dos.
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