De que manera se resuelve este ejercicio de cálculo con cilindros?
En el siguiente ejercicio usa el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen generado por la curva dada alrededor del eje x.
x=1+y^2, x=0, y=1, y=2
1 Respuesta
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¡Hola Miguel Angel!
Siempre tenemos tiempo para ir al revés. De modo que los cascarones se usan para calcular volúmenes de revolución cuando se gira alrededor del eje Y ahora nos dicen que los usemos para una curva girando alrededor del eje X.
No pasa nada, simplemente todo lo que antes era x ahora será y y viceversa. Para empezar ya se han dado cuenta de ello y la función nos la dan como
x=f(y) = 1+y^2
Aunque es sencillo haré la gráfica, con los cascarones hay que tener cuidado que se integra a un solo lado del eje ya que si no estaremos sumando dos veces el mismo cascarón.
La fórmula de los cascarones adaptada al giro sobre el eje X del volumen entre una curva x=f(y) y el eje Y, entre los valores y=y_1 y y=y_2 es:
$$\begin{align}&V=2\pi\int_{y_1}^{y_2}y·f(y)dy\\&\\&V=2\pi \int_1^2y(y^2+1) dy=\\&\\&2\pi\int_1^2(y^3+y)dy=\\&\\&2\pi \left[\frac{y^4}{4}+\frac {y^2}2 \right]_1^2=\\&\\&2\pi\left(4+2-\frac 14-\frac 12 \right)= \\&\\&2\pi· \frac{24-1-2}{4}= \frac{21\pi}2\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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