∫((x+3)/((x^2+6x)^1/3)dx Necesito hallar la integral de esta función

Utilice integración por partes dejando u=(x^2+6+)^1/3 y dv=x+3 , quedandome du=-(2x+6x)/3((x^2+6x)^2)^1/3 dx y v= x^2+6x/2.

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(x+3)/((x^2+6x)^1/3)dx:)

Hola! Anyara. En este caso es más sencillo por sustitución.

Por ejemplo:

t = x² + 6x

De donde deduces:

dt = (2x + 6) dx = 2 (x + 3) dx

Y pasando el "2":

dt / 2 = (x+3) dx

Sustituyendo entonces:

(x+3) dx /(x² + 6x)^(1/3) = (dt / 2) / t^(1/3) = (1/2) * [ dt / t^(1/3) ]

Que es una expresión -por demás de- sencilla para integrar: ¿Entendido?...
Saludos, Mario R.

:)

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¡Hola Anyara!

$$\begin{align}&\int \frac{x+3}{(x^2+6x)^{1/3}}dx=\\&\\&t= x^2+6x\\&dt = (2x+6) dx=2(x+3)dx\implies (x+3)dx = \frac 12 dt\\&\\&=\frac 12\int \frac{dt}{t^{\frac 13}}= \frac 12 \int t^{-\frac 13}dt= \frac 12 \frac{t^{\frac 23}}{\frac 23}+C=\\&\\&\frac 34 t^{\frac 23}+C = \frac 34(x^2+6x)^{\frac 23}+C\\&\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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