Hallar la ecuacion de la recta , que pasa por el punto (3,4), determina en el primer cuadrante con los ejes coordernados;un tria

Alguien me puede ayudar en esta pregunta muchas gracias, hallar la ecuacion de la recta que, pasando por el punto (3,4), determina en el primer cuadrante con los ejes coordernados;un triangulo de area minima

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¡Hola José!

Las rectas que pasan por (3,4) son

y-4 = m(x-3)

Si el corte con el eje X es (a, 0)

0-4 = m(a-3)

m= -4/(a-3)

entonces el corte con el eje Y será

y - 4 = [-4/(a-3)](0-3)

y = 4 +12/(a-3)

este será el corte

(0, 4 + 12/(a-3))

Y el área del triángulo será

$$\begin{align}&f(a) = \frac{a \left(4+\frac {12}{a-3}\right) }{2}= 2a +\frac{ 6a}{a-3}\\&\\&\text{Derivamos e igualamos a 0}\\&\\&f'(a) = 2+\frac{6(a-3)-6a}{(a-3)^2}=\\&\\&\frac{2a-6+6a-18-6a}{(a-3)^2}=  \frac {2a-24}{(a-3)^2}=0\\&\\&2a=24\\&a=12\\&\\&f''(a)= \frac{2(a-3)^2-(2a-24)·2(a-3)}{(a-3)^4}=\\&\\&\frac{2(a-3)-2(2a-24)}{(a-3)^3}= \frac{-2a+42}{(a-3)^3}\\&\\&f''(12) =\frac{-24+42}{9^3}= \frac{18}{9^3}\gt 0\implies mínimo\\&\\&\text{Luego el área máxima se obtiene con a=12}\\&\\&\text{Teníamos }\\&\\&m=- \frac{4}{a-3}= - \frac{4}{12-3}= -\frac 49\\&\\&\text{Luego la recta es}\\&\\&y-4= -\frac 49(x-3)\\&\\&9y-36=-4x+12\\&\\&4x+9y=48\\&\\&\text{si quieres ponerla de otra forma eres libre}\end{align}$$

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