Proble con ecuaciones diferenciales exactas

Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}+\frac{y(2x^3-y^3}{x82y^3-x^3}=0\end{align}$$
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1 Respuesta

5.848.400 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

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¡Hola Víctor!

Exacta seguro que no va a ser, seguramente será homogénea.

Confírmame si querías decir esto:

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}+ \frac{y(2x^3-y^3)}{x(2y^3-x^3)}=0\\&\\&\frac{dy}{dx}=- \frac{y(2x^3-y^3)}{x(2y^3-x^3)}\\&\\&y(2x^3-y^3)dx + x(2y^3-x^3)dy=0\\&\\&(2x^3y-y^4)dx+ (2xy^3-x^4)dy=0\\&\\&M_y=2x^3-4y^3\\&N_x=2y^3-4x^3\\&\\&\text{Ya te decía que no era exacta}\\&\\&M_y-N_x=6(x^3-y^3)\\&\\&\text{y no sale factor integrante de los fáciles}\\&\\&\text{Luego la resolvemos como homogénea}\\&\\&\frac{dy}{dx}=- \frac{y(2x^3-y^3)}{x(2y^3-x^3)}\\&\\&y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}·x+u=\frac{ux(2x^3-u^3x^3)}{x(2u^3x^3-x^3)}=\frac{2u-u^4}{2u^3-1}\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{2u-u^4}{2u^3-1}-u=\frac{2u-u^4-2u^4+u}{2u^3-1}=\frac{-3u^4+3u}{2u^3-1}\\&\\&\frac{2u^3-1}{-3u^4+3u}du=\frac {dx}x\\&\\&\int \frac{2u^3-1}{-3u^4+3u}du = ln \;Cx\end{align}$$

Y esta integral te la dejo de nuevo para ti o para otra pregunta.

Saludos.

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