Algoritmo de la división y MCD

1. Demuestre que 3a2-1 nunca es cuadrado perfecto.

2. Para cualquier entero k, muestre que mcd (2k+1, 9k+14)=1

3. Si mcd (a,b)=1 entonces mcd (a2, b2)=1

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¡Hola Julio Cesar!

No sé si habrás estudiado congruencias numéricas, con ello se simplificaría bastante la demostración, pero lo haré sin ellas.

Sea n un número natural. Por el algoritmo de la división podemos ponerlo como

n = 3m + r

con r = 0, 1 ó 2

Entonces n^2 = (3m+r)^2 = 9m^2 + 6mr + r^2 = 3(3m^2 + 2mr) + r^2

Luego un cuadrado será un múltiplo de 3 más r^2

r^2 puede ser

0^2 = 0

1^2 = 1

2^2 = 4

Es este tercer caso podemos mandar 3 a la parte donde teníamos el múltiplo de 3 y dejar aquí 1

Resumiendo, un cuadrado es un múltiplo de 3 o un múltiplo de 3 más 1

Pero el número que nos dan en el enunciado es un múltiplo de 3 menos 1,

Y un múltiplo de 3 menos 1 es lo mismo que un múltiplo de 3 más 2.

Luego 3a^2 -1 no puede ser un cuadrado perfecto.

Y eso es todo, hay que mandar un solo ejercicio por pregunta. Si quieres los otros mándalos en sendas preguntas y los contestaré dentro de varias horas porque ahora tengo que dejar el ordenador. No olvides valorar esta respuesta con Excelente para poder recibir nuevas respuestas. Y si no entendiste algo puedes preguntar.

Saludos.

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