Demuestra que la suma de los n primeros enteros positivos es igual a n(n+1)/2: 1 + 2 + 3 + … + n =n(n+1)/2
Realiza la siguiente demostración
Demuestra que la suma de los n primeros enteros positivos es igual a
n(n+1)/2: 1 + 2 + 3 + … + n =n(n+1)/2
2 respuestas
Como estas:
Para sumar los "n" primeros números naturales se procede así:
Llamaremos "S" a la suma, entonces podemos escribir "S" de dos formas:
S = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ (n − 3)+(n − 2) + (n − 1) + n
S = n + (n − 1) + (n − 2) + (n − 3) +…+ 4 + 3 + 2 + 1
Sumando término a término ambas igualdades:
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +…+ (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
Y como hay "n" sumandos
2S = n (n + 1) ⇒ S = n (n+1)/2
Esta demostración, se puede hacer de varias maneras, en principio se me ocurren 3:
1. Como lo hizo Luis Alberto
2. Por inducción
3. Gráficamente (con la construcción de dos triángulos rectángulos de catetos, 'n' y 'n+1')
Como esta página es muy mala para los planteos gráficos y por series ya lo tenés hecho, voy a demostrarlo por inducción.
$$\begin{align}&\text{Primero voy a usar la notación de sumatoria y dice que:}\\&1 + 2 + 3 + ... + n = \sum_{i=1}^n i\\&\text{Ahora sí, vamos a la inducción}\\&Caso\ base, n=1\\&\sum_{i=1}^1 i = 1 = \frac{1(1+1)}2 = 1 \ (Vale!)\\&\text{Paso inductivo, supongamos que vale P(n), probar que vale P(n+1)}\\&\text{Quiero ver que}\\&\sum_{i=1}^{n+1} i = \frac{(n+1)(n+2)}{2}\\&\sum_{i=1}^{n+1} i = \sum_{i=1}^{n} i +(n+1)= \text{(paso inductivo)} \\&\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)= \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2}= \frac{(n+1) (n+2)}{2} \text{ (Que es lo que queríamos demostrar)}\end{align}$$Salu2
Ume, si quieres seguir recibiendo respuestas (al menos de mi parte) te sugiero que cambies la valoración por Excelente, ya que la resolución no tiene nada de malo. En caso que no hayas entendido algo comentalo y lo revisamos, pero hasta que no hayas cambiado la valoración, no recibirás más respuestas mías.
Salu2