Demostrar que la siguiente función tiene una única solución

$$\begin{align}&\text{Demostrar que la función}\ x^2=8lnx \ \text{tiene una única solución.}\end{align}$$

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¡Hola Maar!

Será la ecuación la que tiene una sola solución.

Como sabrás, esa ecuación no se puede resolver algebraicamente, pero tenemos algunas técnicas y teoremas que nos pueden ayudar a determinar que solo hay una solución.

Tomemos la función:

f(x) = x^2 - 8·ln x

Las saluciones de la ecuación son los puntos donde f(x)=0

Para empezar la función está definida solo para x>0 ya que si no el logaritmo no estaría definido.

Vamos a calcular la derivada

f'(x) = 2x - 8/x

veamos donde corta al eje X

2x - 8/x = 0

2x^2 - 8 = 0

2x^2 = 8

x^2=4

x=2

el -2 no nos sirve pues ya dijimos que la función solo está definida en x>0

En el intervalo (0,2) la derivada es negativa, toma por ejemplo x=1 y tendrás

f'(1) = 2·1 - 8/1 = -6

Y en el intervalo(2, infinito) es positiva, por ejemplo para x=4

f'(4) = 2·4 - 8/4 = 8-2 = 6

Luego la función es decreciente hasta x=2 y creciente después.

Veamos el valor de la función en x=0, mejor dicho, el límite

lim x->0 f(x) = 0^2 - 8ln(0) = -(-infinito) = infinito

Veamos el valor en x=2

f(2) = 2^2 - 8·ln(2) = 4 - 5.545177 = -1.545177

Y el límite en infinito es

lim x-->inf f(x) = inf

Pues lo siento mucho pero el enunciado miente, hay dos respuestas, aquí tienes la gráfica

Las dos respuestas aproximadamente son

x=1.1957

x=2.9348

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Y eso es todo, sa lu dos.

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